Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án

+) Ta có: $AB=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{a}|$; $BC=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{a}|$

AC = AB + BC = $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{a}|=2.|\overrightarrow{a}|$

Có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Do đó: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{AC}|\text{= A}C=2.|\overrightarrow{a}|$.

Vậy vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ có độ dài là $2.|\overrightarrow{a}|$ và có cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ (theo hướng đi từ trái qua phải).

+) Ta có: $DE=|\overrightarrow{DE}|=|-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}|$; $EF=|\overrightarrow{EF}|=|-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}|$

DF = DE + EF = $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{a}|=2.|\overrightarrow{a}|$

Có: $(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$

Do đó: $|(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})|=|\overrightarrow{DF}|=DF=2.|\overrightarrow{a}|$.

Vậy vectơ $(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})$ có độ dài là $2.|\overrightarrow{a}|$ và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a}$ nên vectơ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $3.|\overrightarrow{a}|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ thỏa mãn MN = $3.|\overrightarrow{a}|$.

Lại có: $\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ và có độ dài bằng $|-3|.|\overrightarrow{b}|=3.|\overrightarrow{b}|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{b}$ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $MP=3.|\overrightarrow{b}|$.

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là $\sqrt{2}$.

Ta có vectơ $\overrightarrow{a}$ có độ dài là $|\overrightarrow{a}|=2$, vectơ $\overrightarrow{b}$ có độ dài là $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$.

Ta có: $|3\overrightarrow{b}|=3.|\overrightarrow{b}|=3.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$; $|-3\overrightarrow{b}|=|-3|.|\overrightarrow{b}|=3\sqrt{2}$.

Lại có: $2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ (1).

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}$.

Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{BC}$.

Nên $|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|2\overrightarrow{BC}|=2|\overrightarrow{BC}|=2BC$.

Ta có: $\widehat{BAC}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AB . AC . cosA

= ${(\sqrt{2})}^{2}$ + 2$^{2}$ – 2 . $\sqrt{2}$ . 2 . cos135° = 10

Suy ra BC = $\sqrt{10}$.

Vậy $|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|2\overrightarrow{BC}|=2|\overrightarrow{BC}|=2BC=2\sqrt{10}$.

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$.

Khi đó:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})$

$=3\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$ $=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MG})+(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MG})+(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MG})=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là $\overrightarrow{a}$ và vectơ vận tốc của tàu B là $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=20$ hải lí/giờ, $|\overrightarrow{b}|=50$ hải lí/giờ.

Suy ra: $\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}\Rightarrow |\overrightarrow{b}|=\frac{5}{2}|\overrightarrow{a}|$.

Vì hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $|\overrightarrow{b}|=\frac{5}{2}|\overrightarrow{a}|$.

Do vậy $\overrightarrow{b}=-\frac{5}{2}\overrightarrow{a}$.

Vì $|\overrightarrow{a}|\ge 0,\ |\overrightarrow{b}|>0$ (độ dài của vectơ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$).

Nên $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\ge 0$.

Mà $\overrightarrow{c}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$.

Do đó vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}$, mà vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$.

Nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương.

Ta lại có: $|\overrightarrow{c}|=|\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}|=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng độ dài và cùng phương.

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$.

Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$.

Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Do đó:

$2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GJ}$.

Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.

a) O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})$

$=4\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})$

$=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MO}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA})+(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MB})$

$=(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})-(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})$$=(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=2\overrightarrow{MN}+(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND})=2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NC})+(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND})$$=(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN})+(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND})$

$=(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN})+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}$ $=(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MA})$

$=2\overrightarrow{MN}-(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$

Do đó: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$

Mà theo câu a, ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=-4\overrightarrow{MB}$.

Suy ra ba điểm M, A, B thẳng hàng và hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng và thỏa mãn $|\overrightarrow{MA}|=4.|\overrightarrow{MB}|$ hay MA = 4MB.

Khi đó M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B thỏa mãn MA = 4MB.

Vậy điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA = 4MB.

Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$.

Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}$.

Mà G là trung điểm của EF nên $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$.

Do đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M tùy ý, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD})$

$=4\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$

$=4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MG}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Quan sát bản đồ về hướng sau:

Ta thấy hướng đông bắc ngược hướng với hướng tây nam.

Do đó vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A. (1)

Theo bài ra ta có: $|\overrightarrow{a}|=600$ km/h, $|\overrightarrow{b}|=800$ km/h.

Suy ra: $\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{800}{600}=\frac{4}{3}$$\Rightarrow |\overrightarrow{b}|=\frac{4}{3}.|\overrightarrow{a}|$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{b}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}$.

Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng thỏa mãn $|\overrightarrow{OA}|=3.|\overrightarrow{OB}|$.

Khi đó O nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn OA = 3OB.

b) Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})$

$=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{MO}+3\overrightarrow{OB}$

$=4\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB})=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MO}$.

Vậy với mọi điểm M bất kì ta có $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BC}$ sao cho $|\overrightarrow{MB}|=\frac{1}{2}.|\overrightarrow{BC}|$ hay MB = $\frac{1}{2}$BC.

Lại có: $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{NB}$ sao cho $|\overrightarrow{AN}|=3|\overrightarrow{NB}|$ hay AN = 3NB.

Có:

$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{PA}-\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{PA}+(-\overrightarrow{CP})=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.

b) Vì AN = 3NB nên BN = $\frac{1}{4}$BA, do đó: $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Vì MB = $\frac{1}{2}$BC nên $MC=\frac{3}{2}BC$, do đó: $\overrightarrow{MC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$.

P là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.

Nên ta có: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

$=(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

c) Theo câu b ta có:

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{MP}$.

Do đó: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MP}$.

Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.