5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích của một số với một vectơ có đáp án (Phần 2) (Vận dụng)

Đáp án đúng là: B

Do ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Khi đó tồn tại các số thực x, y sao cho $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC},\ \forall M$.

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=x(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})+y(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (1-x-y)\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (x+y-1)\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

Theo bài ta có $\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

Suy ra x + y – 1 = 1 nên x + y = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD nên I là trung điểm của AC và BD.

Do đó với điểm M bất kì thì $\{\begin{matrix}2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} \\ 2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\end{matrix}$

Để $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|=k$

$\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}|=k$

$\Leftrightarrow 4|\overrightarrow{MI}|=k\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=\frac{k}{4}$

$\Leftrightarrow MI=\frac{k}{4}$ (*)

Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{k}{4}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $\{\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} \\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}\end{matrix}.$

Theo bài ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}|$

$\Leftrightarrow |2\ \overrightarrow{MI}|=|2\ \overrightarrow{MJ}|\Leftrightarrow MI=MJ.$

Suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}|$ là đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó IJ // BC.

Suy ra tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Đáp án đúng là: D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3\$

$\Leftrightarrow \ |(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM})+(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM})+(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM})|=3\$

$\Leftrightarrow \ |\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}-3\overrightarrow{GM}|=3\$

$\ \Leftrightarrow \ 3\ |\overrightarrow{GM}|=3\ \Leftrightarrow \ GM=1$.

Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1.

Vậy có vô số điểm M thỏa mãn.

Đáp án đúng là : B

Ta có: $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$

$=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}).$

$=9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}$

Ta chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}.$ (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\ \overrightarrow{IG}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9\ \overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG}=\overrightarrow{CA}$ (3)

Do đó $|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}|$

$\Leftrightarrow |9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{AB}|$

$\Leftrightarrow |9\overrightarrow{MI}|=|\overrightarrow{AB}|$ (do $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$)

$\Leftrightarrow 9MI=AB\Leftrightarrow IM=\frac{AB}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R=\frac{AB}{9}=\frac{a}{9}.$