Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Sau bài học này ta sẽ giải bài toán đặt ra bên trên như sau:

Đường thẳng d trên hình vẽ đi qua hai điểm có tọa độ (-2; 0) và (0; -2). Khi đó phương trình đường thẳng d là y = -x – 2.

Đường thằng d’ trên hình vẽ đi qua hai điểm có tọa độ (-1; 0) và (0; 1). Khi đó phương trình đường thẳng d’ là: y = x + 1

Tương ứng với dãn nhãn trên ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{matrix}y<-x-2 \\ y<x+1\end{matrix}$⟺ $\{\begin{matrix}x+y+2<0 \\ -x+y-1<0\end{matrix}$

Ta biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ:

- Miền nghiệm của bất phương trình x + y + 2 < 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d: y = -x – 2 (không tính bờ) và không chứa gốc tọa độ O(0; 0).

- Miền nghiệm của bất phương trình - x + y - 1 < 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’: y = x + 1 (không tính bờ) và chứa gốc tọa độ O(0; 0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ (miền màu xanh trong hình sau).Vậy vị trí đúng của dán nhãn là:

a) Vì x và y là số sào đất trồng cà tím và cà chua nên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số tiền để mua hạt giống cho 1 sào đất trồng cà tím là: 200 000 đồng = 0,2 (triệu đồng)

Số tiền để mua hạt giống cho x sào đất trồng cà tím là: 0,2x (triệu đồng).

Số tiền để mua hạt giống cho 1 sào đất trồng cà chua là: 100 000 đồng = 0,1 (triệu đồng).

Số tiền để mua hạt giống cho y sào đất trồng cà chua là: 0,1y (triệu đồng).

Số tiền để mua cả hai loại hạt giống là: 0,2x + 0,1y (triệu đồng).

Vì người nông dân có tối đa 9 triệu đồng để mua hạt giống nên ta có bất phương trình: 0,2x + 0,1y ≤ 9.

Vậy ta có ba bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x, y là:

x ≥ 0.

y ≥ 0.

0,2x + 0,1y - 9 ≤ 0.

b)

- Với cặp số (20; 40) tương ứng với x = 20, y = 40.

Ta có: 20 > 0; 40 > 0 và 0,2 . 20 + 0,1 . 40 – 9 = -1 < 0

Suy ra, cặp số (20; 40) thỏa mãn cả ba bất phương trình trên.

- Với cặp số (40; 20) tương ứng với x = 40, y = 20.

Ta có: 40 > 0; 20 > 0 và 0,2 . 40 + 0,1 . 20 – 9 = 1 > 0

Do đó, cặp số (40; 20) không thỏa mãn bất phương trình 0,2x + 0,1y - 9 ≤ 0.

Suy ra, cặp số (40; 20) không thỏa mãn đồng thời cả ba bất phương trình trên.

- Với cặp số (-30; 10) tương ứng với x = -30, y = 10.

Ta có: -30 < 0; 10 > 0 và 0,2 . (-30) + 0,1 . 10 – 9 = -14 < 0

Do đó, cặp số (-30; 10) không thỏa mãn bất phương trình x ≥ 0.

Suy ra, cặp số (-30; 10) không thỏa mãn đồng thời cả ba bất phương trình trên.

Vậy chỉ có cặp số (20; 40) thỏa mãn cả ba bất phương trình trên.

a) Hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}3x+y-1\le 0 \\ 2x-y+2\ge 0\end{matrix}$

+ Lấy cặp số (0; 0), ta có 3.0 + 0 – 1 = -1 ≤ 0 và 2.0 – 0 + 2 = 2 ≥ 0 là các mệnh đề đúng. Suy ra cặp số (0 ; 0) thỏa mãn cả hai bất phương trình trong hệ bất phương trình.

Do đó cặp số (0; 0) là một nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}3x+y-1\le 0 \\ 2x-y+2\ge 0\end{matrix}$.

+ Lấy cặp số (0; 1), ta có 3.0 + 1 – 1 = 0 ≤ 0 và 2.0 – 1 + 2 = 1 ≥ 0 là các mệnh đề đúng. Suy ra cặp số (0 ; 1) thỏa mãn cả hai bất phương trình trong hệ bất phương trình.

Do đó cặp số (0; 1) là một nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}3x+y-1\le 0 \\ 2x-y+2\ge 0\end{matrix}$.

Vậy hai cặp số (0; 0), (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}3x+y-1\le 0 \\ 2x-y+2\ge 0\end{matrix}$.

c) Hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}y-1<0 \\ x+2\ge 0\end{matrix}$

+ Lấy cặp số (0; 0), ta có 0 – 1 = -1 < 0 và 0 + 2 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Suy ra cặp số (0; 0) thỏa mãn các bất phương trình của hệ bất phương trình.

Do đó, cặp số (0; 0) là một nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}y-1<0 \\ x+2\ge 0\end{matrix}$

+ Lấy cặp số (1; 0), ta có 0 – 1 = -1 < 0 và 1 + 2 ≥ 0 là các mệnh đề đúng. Suy ra cặp số (1; 0) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ bất phương trình.

Do đó, cặp số (1; 0) là một nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}y-1<0 \\ x+2\ge 0\end{matrix}$.

Vậy hai cặp số (0; 0) và (1; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}y-1<0 \\ x+2\ge 0\end{matrix}$

d) Hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}x+y-3\le 0 \\ -2x+y+3\ge 0 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}$

+ Lấy cặp số (0; 0), thỏa mãn $\{\begin{matrix}0+0-3=-3\le 0 \\ -2.0+0+3=3\ge 0 \\ 0\ge 0 \\ 0\ge 0\end{matrix}$

Do đó cặp số (0; 0) là một nghiệm của hệ bất phương trình bất phương trình đã cho.

+ Lấy cặp số (1; 1), thỏa mãn $\{\begin{matrix}1+1-3=-1\le 0 \\ -2.1+1+3=2\ge 0 \\ 1\ge 0 \\ 1\ge 0\end{matrix}$

Do đó, cặp số (1; 1) là một nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}x+y-3\le 0 \\ -2x+y+3\ge 0 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}$

Vậy hai cặp số (0; 0) và (1; 1) là các nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}x+y-3\le 0 \\ -2x+y+3\ge 0 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}$

+ Xét miền nghiệm của bất phương trình x + y – 3 ≤ 0 :

Lấy điểm O(0 ; 0) không thuộc đường thẳng màu đỏ : x + y – 3 = 0, ta có : 0 + 0 – 3 = -3 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y – 3 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ là đường thẳng x + y – 3 = 0 và chứa gốc tọa tộ O (là phần không gạch chéo đỏ trong hình 1).

+ Xét miền nghiệm của bất phương trình -2x + y + 3 ≥ 0:

Lấy điểm O(0 ; 0) không thuộc đường thẳng màu xanh: -2x + y + 3 = 0, ta có : -2.0 + 0 + 3 = 3 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình -2x + y + 3 ≥ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ là đường thẳng -2x + y + 3 = 0 và chứa gốc tọa độ O (là phần không gạch chéo xanh trong hình 1).

Vậy miền không gạch chéo (kể cả bờ) trong Hình 1 là miền biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ $\{\begin{matrix}x+y-3\le 0 \\ -2x+y+3\ge 0\end{matrix}$

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

- Xác định miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x + y ≤ 8:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d$_{1}$: x + y = 8, ta có: 0 + 0 = 0 < 8. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 8 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (kể cả đường thẳng d$_{1}$) và chứa gốc tọa độ O (như hình 3).

- Xác định miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình 2x +3y ≤ 18:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d$_{2}$: 2x + 3y = 18, ta có: 2.0 + 3.0 = 0 < 18. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x +3y ≤ 18 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d$_{2}$ (kể cả đường thẳng d$_{2}$) và chứa gốc tọa độ O (như hình 3).

- Xác định miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình x ≥ 0:

Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy và kể cả bờ Oy (như hình 3).

- Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox và kể cả bờ Ox (như hình 3).

Vậy, miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình 3 là phần giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho