Bài tập cuối chương V có đáp án

a) Gọi Δ$_{1}$, Δ$_{2}$, Δ$_{3}$ lần lượt là giá của ba vectơ $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$ .

+ Vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$

⇒ Δ$_{1}$ //≡ Δ$_{3}$

+ Vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$

⇒ Δ$_{2}$ //≡ Δ$_{3}$

Do đó: Δ$_{1}$ //≡ Δ$_{2}$

Vậy vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$ (theo định nghĩa).

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ .

Suy ra $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ .

Theo câu a suy ra vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$ .

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Vậy khẳng định b) đúng.

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O.

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = a$^{2}$ + (3a)$^{2}$ = 10a$^{2}$ $\Rightarrow AC=a\sqrt{10}$ .

Do đó: BD = AC = $a\sqrt{10}$ .

Vậy $|\overrightarrow{AC}|=AC=a\sqrt{10},\ |\overrightarrow{BD}|=BD=a\sqrt{10}$ .

b) Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ .

Khi đó: $|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{CO}|=\frac{a\sqrt{10}}{2}$

Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Hai vectơ $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{CO}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Vì O là trung điểm của BD nên BO = OD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ .

Khi đó: $|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{DO}|=\frac{a\sqrt{10}}{2}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Hai vectơ $\overrightarrow{BO}$ và $\overrightarrow{DO}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ trong hình là: $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OC}$ ; $\overrightarrow{AO},\ \overrightarrow{CO}$ ; $\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{BO},\ \overrightarrow{DO}$ .

ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác ABD có AB = AD và $\widehat{BAD}=60^{\circ}$ nên tam giác ABD đều.

Suy ra BD = AB = AD = a.

Ta có: $\widehat{ADC}=180^{\circ}-\widehat{BAD}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ADC ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ – 2 . AD . DC . cosADC

= a$^{2}$ + a$^{2}$ – 2 . a . a . cos120° = 3a$^{2}$

Suy ra: AC = $a\sqrt{3}$ .

+ Vì ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $|\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{AC}|=AC=a\sqrt{3}$ .

+ Ta có:$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{DB}|=DB=a$ .

+ Ta có: $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $|\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{DB}|=DB=a$ .

a) Vì ABCD là hình bình hành nên BC // = AD.

M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên BM = MC = $\frac{1}{2}$ BC; AN = ND = $\frac{1}{2}$ AD

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ nên CE //= AN.

Do đó: BM = MC = AN = ND = CE (1).

Hai vectơ $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{MC}$ cùng hướng (do AN // MC và cùng hướng đi từ trái qua phải) và $|\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{AN}|$ nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MC}$ .

Khi đó ta có AMCN là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$ .

Do đó:$\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{ND}$

Lại có: ME = MC + CE; AD = AN + ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra ME = AD, mà ME // AD nên AMED là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có:$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$ .

Do đó ta có: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}$ .

b) Vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$ nên $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

Do đó ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ .

Vì AMED là hình bình hành nên $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AD}$ .

Do đó ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ .

c) Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

Do AMCN là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$ .

Từ đó suy ra: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

a) Áp dụng công thức ${\overrightarrow{u}}^{2}={|\overrightarrow{u}|}^{2}$ .

Bình phương hai vế của đẳng phức $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$ , ta được:${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^{2}={(|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|)}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}={|\overrightarrow{a}|}^{2}+2|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|+{|\overrightarrow{b}|}^{2}$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|+{\overrightarrow{b}}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|$

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$

Do đó: $|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})\Leftrightarrow cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=1$

Suy ra: $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=0^{\circ}$ hay hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Vậy đẳng thức a) đúng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Bình phương hai vế của đẳng thức $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$ , ta được: ${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^{2}={|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}={(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

Vậy đẳng thức b) đúng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.