6 bài tập Toán thực tế (có lời giải)

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC .

Kẻ đường cao AH , khi đó tâm I của đường tròn nội tiếp (giao điểm của ba đường phân giác cũng là trọng tâm).

Ta có AH là đường trung tuyến$\Rightarrow {\rm{H}}$là trung điểm của BC hay ${\rm{BH}} = {\rm{CH}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6$ (m).

Xét tam giác BHI vuông tại H . Có ${\rm{BH}} = 6\;{\rm{cm}}$ và $\widehat{\text{IBH}}={30}^{^{\circ}}$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $\text{IH}=\text{BH}\cdot \tan \text{IBH}=6\cdot \tan {30}^{^{\circ}}=2\sqrt{3}(\text{m})$

Vậy bán kính của phần đất trồng hoa là ${\rm{r}} = 2\sqrt 3 (\;{\rm{m}})$

Do đó diện tích phần đất trồng hoa là ${\rm{S}} = \pi \cdot {(2\sqrt 3 )^2} = 12\pi \left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)$

Gọi O là vị trí cách đều ba vị trí ${\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}$ nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung trực).

Do $\triangle \text{ABC}$đều (gt) nên O đồng thời là trực tâm và trọng tâm của tam giác hay AH là đường cao của tam giác ABC

đều cạnh 15 m .$\Rightarrow {\rm{AH}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}(\;{\rm{m}})$ vì AH đồng thời là trung tuyến của có trọng tâm O$\Rightarrow {\rm{OA}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{15\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 (\;{\rm{m}})$.

Vậy khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí ${\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}$ là $5\sqrt 3 (\;{\rm{m}})$.

a) Xét tam giác ABC , ta có: ${\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}\left( {{{1500}^2} = {{900}^2} + {{1200}^2}} \right)$

Theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A .

Phần đất giới hạn là tam giác vuông, gọi P là chu vi, ta có: $P = AB + BC + AC = 900 + 1500 + 1200 = 3600(m)$

Và diện tích ${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{AB}} \cdot {\rm{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1200 = 540000\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)$

b) Gọi O là nơi xây dựng khách sạn và khoảng cách từ khách sạn đến ba con đường là ${\rm{OH}} = {\rm{OI}} = {\rm{OK}} = {\rm{R}}$.

Ta có: ${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}}$ (trong đó ${{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}}$ lần lượt là diện tích các tam giác AOB, AOCvà BOC)

${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AB}} + \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AC}} + \frac{1}{2}R \cdot BC$

${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}}({\rm{AB}} + {\rm{AC}} + {\rm{BC}})$

${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{P }}$ (${{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}$là diện tích và $P$ là chu vi)$\Rightarrow {\rm{R}} = \frac{{2 \cdot \;{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{\rm{P}}} = \frac{{2.540000}}{{3600}} = 300(\;{\rm{m}})$

Khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường 300 (m).

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Kẻ AH là đường cao vìđều nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC,ta có: ${\rm{HB}} = {\rm{HC}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30(\;{\rm{m}})$

Tam giác AHC vuông tại H. Theo định lí Pythagore, ta có:

${\rm{A}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{H}}^2} = {60^2} + {30^2}$$\Rightarrow {\rm{AB}} = \sqrt {{{60}^2} + {{30}^2}} = 30\sqrt 3 (\;{\rm{m}})$

Ta có: ${\rm{OA}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}}$ (tính chất trọng tâm)$\Rightarrow {\rm{OA}} = \frac{2}{3} \cdot 30\sqrt 3 = 20\sqrt 3 (\;{\rm{m}})$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh 60 m là: ${\rm{OA}} = 20\sqrt 3 (\;{\rm{m}}) \approx 34{,}6(\;{\rm{m}}) < 50(\;{\rm{m}})$

Vậy có thể đặt vị trí bộ phát sóng tại O .

Vì $O$ cách đều 3 đỉnh của tam giác $ABC$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$.

Gọi $a\left( {cm} \right)$ là độ dài cạnh của tam giác đều $ABC{\rm{ }}\left( {a > 0} \right)$.

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là $60cm$.

Nên $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow a\sqrt 3 = 180 \Leftrightarrow a \approx 104$ (nhận).

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $B$ khoảng $104m$.