17 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp có đáp án

Từ tâm $P$ và $Q$ vẽ $PQ$ và $CQ$ vuông góc với cạnh $AD$ của tam giác

Các tam giác $APB$ và $DQC$ là nửa tam giác đều với $PB = QC = 3$

$$\Rightarrow AB = CD = 3\sqrt 3 ;BC = PQ = 6 \Rightarrow AD = 6 + 6\sqrt 3$$

Vậy chu vi tam giác là: $18 + 18\sqrt 3$

Gọi $D,E,F$ là tiếp điểm của đường tròn $\left( I \right)$ với $AB$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pytago ta có: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\left( {cm} \right)$

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $AD = AF;BD = BE;CE = CF$

Do đó $2AD + 2BE + 2CE = AB + BC + CA = 9 + 12 + 15 = 36$

$$\Leftrightarrow 2AD + 2BC = 36 \Leftrightarrow AD = 3\left( {cm} \right) \Rightarrow BD = 6\left( {cm} \right);DI = 3\left( {cm} \right)$$

Gọi $N = BI \cap AC$, ta có: $\frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{{BG}}{{BM}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IG//NM\\IG = \frac{2}{3}NM\end{array} \right.$

Ta có $\diamondsuit IDAF$ là hình vuông, có: $\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DI}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AN = 4{,}5\left( {cm} \right)$

Mà $M$ là trung điểm của $AC$ nên: $NM = AM - AN = 6 - 4{,}5 = 1{,}5\left( {cm} \right) \Rightarrow IG = 1\left( {cm} \right)$

Ta có $AI = \frac{{2AO}}{3} = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow OI = R - \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{3}$

$\Delta OCI$ vuông tại $O$, ta có:

$CI = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{R}{3}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}$

$\Delta CED$ nội tiếp đường tròn $O$ có cạnh $CD$ là đường kính $\Rightarrow \Delta CED$ vuông tại $E$

Hai tam giác vuông $OCI$ và $CED$ có $\widehat C:chung$

$\Rightarrow \Delta COI \sim \Delta CED \Rightarrow \frac{{CO}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow CE = \frac{{CO.CD}}{{CI}}$

$= \frac{{R.2R}}{{R\frac{{\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{6R}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}$