5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Ba đường conic (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của (P) có dạng: y$^{2}$ = 2px (p > 0)

Vì (P) có đường chuẩn ∆ : x + 4 = 0 hay x = −4 ⇒ $\frac{-p}{2}=-4$ ⇔ p = 8

Do đó phương trình chính tắc của (P) là: y$^{2}$ = 16x

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$). Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M; ∆) = MF = 5

⇔ $\frac{|{x}_{0}+4|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=5$

⇔ $|{x}_{0}+4|=5$

⇔ $[\begin{matrix}{x}_{0}+4=5 \\ {x}_{0}+4=-5\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}{x}_{0}=1 \\ {x}_{0}=-9\end{matrix}$

Với x$_{0}$ = – 9 ta có: y$_{0}$$^{2}$ = 16 .(– 9) = – 144 (vô lí)

Với x$_{0}$ = 1 ta có: y$_{0}$$^{2}$ = 16.1 = 16 ⇔ $[\begin{matrix}{y}_{0}=-4 \\ {y}_{0}=4\end{matrix}$

Vậy M (1; 4) hoặc M(1; – 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ trong đó a, b > 0

Vì (H) có một tiêu điểm là F$_{2}$(5; 0) nên ta có : c = 5 ⇒ a$^{2}$ + b$^{2}$ = c$^{2}$ = 25

⇔ a$^{2}$ = 25 – b$^{2}$

Vì (H) đi qua điểm M(3$\sqrt{2}$; −4) nên ta có: $\frac{{(3\sqrt{2})}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{4}^{2}}{{b}^{2}}=1$ ⇔ $\frac{18}{{a}^{2}}-\frac{16}{{b}^{2}}=1$ (1)

Đặt t = b$^{2}$ (t > 0) ⇒ a$^{2}$ = 25 – t . Thay vào (1) ta được:$\frac{18}{25-t}-\frac{16}{t}=1$ (t ≠ 25)

⇔ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

⇔ t$^{2}$ + 9t – 400 = 0 ⇒ $[\begin{matrix}t=16 \\ t=-25\end{matrix}$

Với điều kiện t > 0 thì t = - 25 không thoả mãn

Với t = 16 thì b$^{2}$ = 16 và a$^{2}$ = 25 – 16 = 9

Vậy phương trình đường thẳng hypebol (H) là: $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì điểm C thuộc (P) nên C$(\frac{{c}^{2}}{4};c)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$; $\overrightarrow{AC}=(\frac{{c}^{2}}{4};c+4)$

Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 0

⇔ $-6.\frac{{c}^{2}}{4}+8(c+4)=0$

⇔ $\frac{-3}{2}{c}^{2}+8c+32=0$

⇔$[\begin{matrix}c=8 \\ c=\frac{-8}{3}\end{matrix}$

Với c = 8 thì C(16; 8)

Với c = $\frac{-8}{3}$ thì C$(\frac{16}{9};\frac{-8}{3})$

Vậy điểm C cần tìm có toạ độ là: C(16; 8) hoặc C$(\frac{16}{9};\frac{-8}{3})$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$ ⇒ a$^{2}$ = 100 và b$^{2}$ = 36 . Do đó: c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{100-36}=8$

Khi đó, tiêu điểm F$_{1}$ (−8; 0)

⇒ Đường thẳng d // Oy và đi qua F$_{1}$ (−8; 0) là x = −8

Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x=-8 \\ \frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1\end{matrix}$

⇔ $\{\begin{matrix}x=-8 \\ \frac{64}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1\end{matrix}$ ⇒$\{\begin{matrix}x=-8 \\ y=\pm \frac{18}{5}\end{matrix}$

Vậy toạ độ hai điểm M và N lần lượt là: M$(-8;\frac{18}{5})$ và N$(-8;-\frac{18}{5})$

⇒ MN = $\sqrt{{(-8+8)}^{2}+{(\frac{18}{5}+\frac{18}{5})}^{2}}=\frac{36}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 9x$^{2}$ + 16y$^{2}$ = 144 ⇔ $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$. Khi đó: a = 4; b = 3; c = $\sqrt{7}$.

⇒ F$_{1}$ (−$\sqrt{7}$;0); F$_{2}$ ($\sqrt{7}$; 0); F$_{1}$F$_{2}$= 2c = 2$\sqrt{7}$; MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MF$_{1}$F$_{2}$ ta có:

F$_{1}$F$_{2}$$^{2}$ = MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ − 2MF$_{1}$. MF$_{2}$. cos$\widehat{{F}_{1}M{F}_{2}}$

⇔ 28 = MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ − 2MF$_{1}$. MF$_{2}$. cos60º

⇔ 28 = MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ − MF$_{1}$. MF$_{2}$

⇔ MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ + 2MF$_{1}$. MF$_{2}$− 3MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 28

⇔ (MF$_{1}$ + MF$_{2}$)$^{2}$− 3MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 28

⇔ 64 − 3MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 28

⇔ MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 12.