5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Giải phương trình bậc hai một ẩn (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì x = 2m + 3 là một nghiệm của bất phương trình x$^{2}$ + 2(m – 1)x + m$^{2}$ – 3m + 4 ≤ 0 nên ta có:

(2m + 3)$^{2}$ + 2(m – 1)(2m + 3) + m$^{2}$ – 3m + 4 ≤ 0.

⇔ 4m$^{2}$ + 12m + 9 + 2(2m$^{2}$ + m – 3) + m$^{2}$ – 3m + 4 ≤ 0.

⇔ 9m$^{2}$ + 11m + 7 ≤ 0.

Tam thức bậc hai f(m) = 9m$^{2}$ + 11m + 7 có ∆ = 11$^{2}$ – 4.9.7 = – 131 < 0.

Do đó f(m) vô nghiệm.

Ta lại có a$_{m}$ = 9 > 0.

Vì vậy f(m) > 0, với mọi m ∈ ℝ.

Do đó bất phương trình f(m) = 9m$^{2}$ + 11m + 7 ≤ 0 vô nghiệm.

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi (2 – 3m)x$^{2}$ + 2mx + m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đặt f(x) = (2 – 3m)x$^{2}$ + 2mx + m – 1.

Trường hợp 1: a = 0 ⇔ 2 – 3m = 0 ⇔ m = $\frac{2}{3}$.

Với $m=\frac{2}{3}$, ta có $0.{x}^{2}+2.\frac{2}{3}.x+\frac{2}{3}-1>0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{4}$

Do đó $m=\frac{2}{3}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: a ≠ 0.

Khi đó f(x) là tam thức bậc hai có:

∆’ = m$^{2}$ – (2 – 3m)(m – 1)

= m$^{2}$ – (–3m$^{2}$ + 5m – 2)

= 4m$^{2}$ – 5m + 2.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì a > 0 và ∆ < 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2-3m>0 \\ 4{m}^{2}-5m+2<0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m<\frac{2}{3} \\ 4{m}^{2}-5m+2<0\end{matrix}$ (1)

Ta giải bất phương trình 4m$^{2}$ – 5m + 2 < 0 như sau:

Tam thức bậc hai g(m) = 4m$^{2}$ – 5m + 2 có ∆ = (–5)$^{2}$ – 4.4.2 = –7 < 0.

Do đó g(m) vô nghiệm.

Ta lại có a$_{m}$ = 4 > 0.

Vì vậy g(m) > 0, với mọi giá trị của m ∈ ℝ.

Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn g(m) = 4m$^{2}$ – 5m + 2 < 0.

Vì vậy không có giá trị nào của m để (1) thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ ∅.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình f(x) = (m$^{2}$ – m – 6)x$^{2}$ – 2(m + 2)x – 4 = 0.

+) Trường hợp 1: a = 0 ⇔ m$^{2}$ – m – 6 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = –2.

• Với m = 3, ta có 0.x$^{2}$ – 2.(3 + 2)x – 4 = 0

⇔ –10x – 4 = 0 ⇔ x = $-\frac{2}{5}$.

Do đó m = 3 thỏa mãn.

• Với m = –2, ta có 0.x$^{2}$ – 2(–2 + 2)x – 4 = 0.

⇔ 0.x – 4 = 0 (vô nghiệm)

Do đó m = –2 không thỏa mãn.

+) Trường hợp 2: a ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 và m ≠ –2.

f(x) là tam thức bậc hai ẩn x có:

∆’ = (m + 2)$^{2}$ – (m$^{2}$ – m – 6).(–4)

= m$^{2}$ + 4m + 4 + 4m$^{2}$ – 4m – 24

= 5m$^{2}$ – 20

Phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0

⇔ 5m$^{2}$ – 20 ≥ 0

Tam thức bậc hai f(m) = 5m$^{2}$ – 20 có ∆ = 0$^{2}$ – 4.5.(–20) = 400 > 0.

Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là: m$_{1}$ = –2, m$_{2}$ = 2.

Ta lại có a = 5 > 0.

Vì vậy:

⦁ f(m) dương với mọi m thuộc hai khoảng (–∞; –2) và (2; +∞);

⦁ f(m) âm với mọi m thuộc khoảng (–2; 2);

⦁ f(m) = 0 khi m = –2 hoặc m = 2.

Do đó bất phương trình 5m$^{2}$ – 20 ≥ 0 có tập nghiệm là (–∞; –2] ∪ [2; +∞).

So với điều kiện m ≠ 3 và m ≠ –2, ta nhận m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai I(x) = 200x$^{2}$ – 1400x + 2400 có:

∆’ = (–700)$^{2}$ – 200.2400 = 10 000 > 0.

Suy ra I(x) có hai nghiệm phân biệt là:

Ta lại có a = 200 > 0 và 0 ≤ x ≤ 5.

Vì vậy ta có bảng xét dấu sau:

Theo bảng xét dấu ta có:

⦁ I(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng [0; 3) và (4; 5];

⦁ I(x) âm với mọi x thuộc khoảng (3; 4);

⦁ I(x) = 0 khi x = 3 hoặc x = 4.

Do đó doanh nghiệp đó không có lãi khi và chỉ khi I(x) ≤ 0.

Tức là khi x ∈ [3; 4].

Hay ta có thể nói là khi cửa hàng giảm giá từ 3 đến 4 triệu đồng thì doanh nghiệp đó không có lãi.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi x (m) là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật (x > 0).

Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 150 m nên có nửa chu vi là 75 m.

Khi đó chiều rộng của mảnh đất là: 75 – x (m).

Do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên x > 75 – x hay x > 37,5.

Diện tích của mảnh đất là: x(75 – x) = –x$^{2}$ + 75x (m$^{2}$).

Theo đề ta có diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m$^{2}$.

⇔ –x$^{2}$ + 75x > 650.

+) Xét tam thức bậc hai f(x) = –x$^{2}$ + 75x – 650 có:

∆ = 75$^{2}$ – 4.(–1).(–650) = 3025 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

${x}_{1}=\frac{-75+\sqrt{3025}}{2.(-1)}=10,\ {x}_{2}=\frac{-75-\sqrt{3025}}{2.(-1)}=65.$

Ta lại có a = –1 < 0 và x > 37,5 nên:

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc hai khoảng (0; 37,5) và (65; +∞);

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc khoảng (37,5; 65);

⦁ f(x) = 0 khi x = 37,5 hoặc x = 65.

Do đó bất phương trình –x$^{2}$ + 75x – 650 ≥ 0 có tập nghiệm là [37,5; 65].

Khi đó chiều dài của mảnh đất phải từ 37,5 m đến 65 m thì diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m$^{2}$.

Vậy ta chọn phương án D.