5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(1;2)$

Suy ra đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=(2;-1)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1)$ và đi qua điểm A(1; 3) nên có phương trình tổng quát là:

2(x – 1) – (y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

Đường thẳng d cắt 2 trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại M$(-\frac{1}{2};0)$ và N(0;1) .

Vậy phương trình đoạn chắn của đường thẳng d là: $\frac{x}{-\frac{1}{2}}+\frac{y}{1}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để khoảng cách AM là ngắn nhất thì M là hình chiếu của A lên đường thẳng d.

Khi đó AM vuông góc với d, do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng AM chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: $\overrightarrow{n}=(2;5)$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=(5;-2)$

Khi đó $\overrightarrow{u}=(5;-2)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AM.

Phương trình đường thẳng AM là:

5.(x – 3) – 2.(y + 1) = 0 hay 5x – 2y – 17 = 0.

M là giao điểm của 2 đường thẳng AM và d nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

$\{\begin{matrix}5x-2y-17=0 \\ 2x+5y-10=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{105}{29} \\ y=\frac{16}{29}\end{matrix}$ .

Vậy a = $\frac{105}{29}$ và b = $\frac{16}{29}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

M là trung điểm của AB với A(2; 4) và B(0; 6) nên M(1; 5).

Xét phương trình của đường thẳng d: $\{\begin{matrix}x=t \\ y=t-1\end{matrix}$

Cho t = 0 ta có điểm C(0; ‒1) thuộc d.

Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=(1;1)$

Suy ra vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(1;-1)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ và đi qua điểm C(0; ‒1) nên có phương trình tổng quát là:

1.(x – 0) – (y +1) = 0 hay x – y – 1= 0.

Khi đó $d(M,d)=\frac{|1-5-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{(-1)}^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $d(M,d)=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng x + 3y – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=(1;3)$.

Do đường thẳng d song song với đường thẳng x + 3y – 10 = 0 nên $\overrightarrow{n}=(1;3)$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Khi đó đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(3;-1)$.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;-1)$ và đi qua M(2; 6) có phương trình tham số là: $\{\begin{matrix}x=2+3t \\ y=6-t\end{matrix}$.

Với t = 1 ta có $\{\begin{matrix}x=2+3.1=5 \\ y=6-1=5\end{matrix}$, khi đó điểm A(5; 5) thuộc đường thẳng d.

Do đó ta có phương trình tham số của đường thẳng d là $\{\begin{matrix}x=5+3t \\ y=5-t\end{matrix}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng D: x + 2y – 6 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(1;2)$.

Gọi ${\overrightarrow{n}}_{d}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Khi đó hệ số góc của đường thẳng d là $k=-\frac{a}{b}$.

Góc giữa hai đường thẳng d và $\Delta$ là 45° nên ta có:

$\text{cos}(d,Δ)=|\text{cos}({\overrightarrow{n}}_{d},{\overrightarrow{n}}_{Δ})|=c\text{os45}^{\circ}$

Hay $\frac{|1.a+2.b|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}.\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5}.\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{2}.|a+2b|$

Û 5(a$^{2}$ + b$^{2}$) = 2(a + 2b)$^{2}$

Û 5a$^{2}$ + 5b$^{2}$ = 2a$^{2}$ + 8ab + 8b$^{2}$

Û 3a$^{2}$ – 8ab – 3b$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}a=3b \\ a=-\frac{1}{3}b\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}\frac{a}{b}=3 \\ \frac{a}{b}=-\frac{1}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}k=-\frac{a}{b}=-3 \\ k=-\frac{a}{b}=\frac{1}{3}\end{matrix}$.

Vậy ta chọn phương án A.