5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài tập cuối chương 7 (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Kẻ AH ⊥ BC tại H.

Ta có:

⦁ $\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right)$. Suy ra $\frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right);\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{ - 3}}{4}} \right)$;

⦁ $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right)$.

Ta có S$_{ABC}$ = 4S$_{ABM}$

Suy ra $\frac{1}{2}AH.BC = 4.\frac{1}{2}AH.BM$

Do đó BC = 4BM

Vì vậy $BM = \frac{1}{4}BC$

Suy ra $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - \frac{3}{4}\\y - 1 = - \frac{3}{4}\end{array} \right.$

Vì vậy $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{4}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.$

Suy ra ${x^2} - {y^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{13}}{8}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chọn A(0; 1) ∈ ∆.

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1;1} \right)$.

Suy ra đường thẳng ∆ nhận $\vec u = \left( {1; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(0; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1; - 1} \right)$.

Suy ra phương trình tham số của ∆: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\end{array} \right.$

Ta có M ∈ ∆. Suy ra M(t; 1 – t).

Ta có $\overrightarrow {NM} = \left( {t + 1; - 2 - t} \right)$.

Suy ra $NM = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}}$.

Theo đề, ta có MN = 5.

⇔ (t + 1)$^{2}$ + (–2 – t)$^{2}$ = 25.

⇔ t$^{2}$ + 2t + 1 + 4 + 4t + t$^{2}$ = 25.

⇔ 2t$^{2}$ + 6t – 20 = 0.

⇔ t = 2 hoặc t = –5.

Với t = 2, ta có tọa độ M(2; –1).

Với t = –5, ta có tọa độ M(–5; 6).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$. Suy ra $AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10}$.

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$.

Suy ra đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{AB}} = \left( {1;3} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua A(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$.

Suy ra phương trình tổng quát của AB: 1(x – 2) + 3(y – 2) = 0.

⇔ x + 3y – 8 = 0.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(–8; 0) và có vectơ chỉ phương ${\vec u_\Delta } = \left( {2;1} \right)$.

Suy ra phương trình tham số của ∆: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 8 + 2t\\y = t\end{array} \right.$

Ta có C ∈ ∆. Suy ra tọa độ C(2t – 8; t).

Theo đề, ta có diện tích tam giác ABC bằng 17.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {C,AB} \right).AB = 17$.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{\left| {2t - 8 + 3t - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}.\sqrt {10} = 17$

⇔ |5t – 16| = 34

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t - 16 = 34\\5t - 16 = - 34\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - \frac{{18}}{5}\end{array} \right.$

Với t = 10, ta có C(12; 10).

Với $t = - \frac{{18}}{5}$, ta có $C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)$.

Vậy C(12; 10) hoặc $C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 3), bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 5} = \sqrt 5$.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\vec n_d} = \left( {1;2} \right)$.

Vì ∆ // d nên ∆ nhận ${\vec n_d} = \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình ∆ có dạng: x + 2y + c = 0.

Vì d là tiếp tuyến của (C) nên d(I, ∆) = R.

$\Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 + 2.3 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \sqrt 5$

⇔ |c + 5| = 5

⇔ c + 5 = 5 hoặc c + 5 = –5

⇔ c = 0 hoặc c = –10.

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến d thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là: x + 2y = 0 hoặc x + 2y – 10 = 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và elip (E) thỏa mãn hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\{y^2} = \frac{{81}}{{25}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = \pm \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Suy ra tọa độ $M\left( { - 4; - \frac{9}{5}} \right),\,\,N\left( { - 4;\frac{9}{5}} \right)$.

Khi đó $MN = \sqrt {{{\left( { - 4 + 4} \right)}^2} + {{\left( {\frac{9}{5} + \frac{9}{5}} \right)}^2}} = \frac{{18}}{5}$.

Vậy ta chọn phương án C.