23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải)

Tính khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến các mặt phẳng sau:

a) $(P):x + y + z + 12 = 0$; b) $(Q):4x + 3y + 10 = 0$.

a) Tính chiều cao của hình chóp O.MNP với toạ độ các đình là $O(0;0;0),M(2;1;2)$, $N(3;3;3),P(4;5;6)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(R):8x + 6y + 70 = 0$ và (S): $16x + 12y - 2 = 0$.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2$, chiều cao bằng 2a và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = 2a,AD = 5a,SA = 3a$ và $SA \bot (ABCD)$. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz như Hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Cho hai mă̆t phẳng $\left( {{P_1}} \right):x + 2y - 3z + 5 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right): - 4x - 8y + 12z + 3 = 0$.

a) Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.

Cho mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 4y - 4z + 3 = 0$ và mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right):x - 2y - 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x + 3y + z + 2 = 0$ và $(Q):x + 3y + z + 5 = 0$.

a) Chứng minh rằng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc $(P)$, tính khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$ : $2x + 3y - 6z - 7 = 0,(\beta ):2x + 3y - 6z + 14 = 0$.

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm $M(1; - 2;3)$ đến $(\alpha )$.

b) Chứng minh $(\alpha )//(\beta )$ và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): $x + 3y - z = 0,(Q):x - y - 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $({\rm{Q}})$ vuông góc với nhau.

b) Tim điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $({\rm{Q}})$.

Cho hình chóp S.ABC thoả mãn $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={90}^{^{\circ}}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}{\rm{. }}$

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm $A(0;0;0),B(a;0;0)$, $D(0;b;0),S(0;0;c)$ với a, b, c là các số dương (Hinh vẽ ).

a) Tìm toạ độ của điểm $C$, trung điểm $M$ của BC, trọng tâm $G$ của tam giác SCD.

b) Lâp phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD).