23 bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải)

a) $d(M,(P)) = \frac{{|1.1 + 1.2 + 1.3 + 12|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3$;

b) $d(M,(Q)) = \frac{{|4.1 + 3.2 + 0.3 + 10|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{{20}}{5} = 4$.

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1;2;3),\overrightarrow {AC} = (4;1;2)$, suy ra $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)$.

Phương trình của $(ABC)$ là: $1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0$ hay $x + 10y - 7z - 4 = 0$.

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm $S$ đến $(ABC)$.

Ta có: $SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}$.

a) Mặt phẳng $(MNP)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {MN} = (1;2;1)$ và $\overrightarrow {MP} = (2;4;4)$ nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2; - 1;0)$.

Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ là $2(x - 2) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0$.

Chiều cao của hình chóp O.MNP là: $d(O,(MNP)) = \frac{{|2.0 - 0 - 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}.$

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(R)$ và $(S)$ là khoảng cách từ điểm $M\left( {0;\frac{1}{6};0} \right)$ thuộc $(S)$ đến mặt phẳng $(R)$ : $d((R),(S)) = d(M,(R)) = \frac{{\left| {8 \cdot 0 + 6 \cdot \frac{1}{6} + 70} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \frac{{71}}{{10}} = 7{,}1.$

Dựa vào hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có $O(0;0;0),S(0;0;2a)$, $A( - a;0;0),B(0;a;0)$ và $C(a;0;0)$.

Khi đó $(SAB)$ có phương trình là $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{2a}} = 1$ hay $- 2x + 2y + z - 2a = 0$.

Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{{| - 2 \cdot a - 2a|}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{4a}}{3}$.

Theo Hình 19 , ta có $A(0;0;0),S(0;0;3a),B(2a;0;0),D(0;5a;0)$ và $C(2a;5a;0)$.

Ta có $\overrightarrow {SB} = (2a;0; - 3a),\overrightarrow {SC} = (2a;5a; - 3a)$, suy ra $[\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;0;2)$.

Vậy mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình là: $3(x - 0) + 2(z - 3a) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.$

Khi đó $d(A,(SBC)) = \frac{{| - 6a|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}a$.

a) Ta có ${\vec n_1} = (1;2; - 3),{\vec n_2} = ( - 4; - 8;12)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$. Do ${\vec n_2} = - 4{\vec n_1},3 \ne ( - 4)$. 5 nên $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

b) Chọn điểm ${M_0}\left( {\frac{3}{4};0;0} \right) \in \left( {{P_2}} \right)$. Suy ra khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ bằng:

$d\left( {{M_0},\left( {{P_1}} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{3}{4} + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{23\sqrt {14} }}{{56}}.$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ bằng $\frac{{23\sqrt {14} }}{{56}}$.

a) Ta có ${\vec n_1} = (2; - 4; - 4),{\vec n_2} = (1; - 2; - 2)$ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$. Do ${\vec n_1} = 2{\vec n_2},{D_1} = 3 \ne 2 = 2{D_2}$ nên $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

b) Chọn điểm ${M_0}\left( { - \frac{3}{2};0;0} \right) \in \left( {{P_1}} \right)$. Suy ra khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$ là:

$d\left( {{M_0},\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| { - \frac{3}{2} + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{6}.$Nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ bằng $\frac{1}{6}$.

Khoảng cách từ điểm $M(1;2; - 1)$ đến mặt phẳng $(P)$ : $x + 2y - 2z + 5 = 0$ là:

${\rm{d}}(M,(P)) = \frac{{|1 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 1) + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 4.$

${\rm{ vì }} \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = (1;1;1) {\rm{ và }} 2 \ne 6 {\rm{ nên }} ({\rm{P}})//({\rm{Q}}){\rm{. }}$ Lấy ${\rm{M}}(0;0; - 2) \in (P)$.

Khi đó $d(M,(Q)) = d((P),(Q)) = \frac{{| - 2 + 6|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}$

a) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = (1;3;1),\overrightarrow {{n_Q}} = (1;3;1)$. Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}}$ và $2 \ne 5$. Do đó $({\rm{P}})$ và $({\rm{Q}})$ song song với nhau.

b) Lấy điểm ${\rm{M}}(0;0; - 2) \in ({\rm{P}})$.

Khi đó khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Q)$ là: $d(M,(Q)) = \frac{{| - 2 + 5|}}{{\sqrt {1 + {3^2} + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt {11} }}$

Do đó $d(M,(Q)) = d((P),(Q)) = \frac{3}{{\sqrt {11} }}$

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có:

$\begin{array}{l}d(O,(\alpha )) = \frac{{|2.0 + 3.0 - 6.0 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{7}{7} = 1\\d(M,(\alpha )) = \frac{{|2.1 + 3.( - 2) - 6.3 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{29}}{7}.\end{array}$

b) Ta có $\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} \ne \frac{{ - 7}}{{14}}$ nên $(\alpha )//(\beta )$. Lấy điểm $N( - 7;0;0)$ thuộc ( $\beta$ ).

Vậy $d((\alpha ),(\beta )) = d(N,(\alpha )) = \frac{{|2.( - 7) + 3.0 - 6.0 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3.{\rm{ }}$

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = (1;3; - 1),\overrightarrow {{n_Q}} = (1; - 1; - 2)$ vì $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 1) + ( - 1) \cdot ( - 2) = 0$

Do đó hai mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $({\rm{Q}})$ vuông góc với nhau.

$\begin{array}{l}{\rm{ b) Do M}} \in {\rm{Ox nên M}} ({\rm{a}};0;0){\rm{. Do d}}({\rm{M}},({\rm{P}})) = {\rm{d}}({\rm{M}},({\rm{Q}})) {\rm{ nên }} \frac{{|a|}}{{\sqrt {1 + 9 + 1} }} = \frac{{|a + 1|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt 6 |a| = \sqrt {11} |a + 1|\\ \Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11 \Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}{\rm{ hay }}a = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array}$Vậy có hai điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu là: ${M_1}\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right),{M_2}\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)$

Đặt $SA = a,SB = b,SC = c(a,b,c > 0)$. Vì các đường thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục toạ độ Oxyz thoả mãn $S(0;0;0),A(a;0;0)$, $B(0;b;0),C(0;0;c)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là: $SH = \frac{{\left| {\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }}.$

Suy ra $\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$.

Ta có: $\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} \ne 1$, suy ra điểm $D(1;2;3)$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$.

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng.

Xét hệ trục toạ độ Oxyz thoả mãn $A(0;0;0)$ trùng gốc $O,B(2a;0;0),D(0;3a;0),{A^\prime }(0;0;4a)$ (Hinh 7 ).

Ta có: $M(a;0;0),N(0;2a;0),P(0;0;3a)$, ${C^\prime }(2a;3a;4a)$.

Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} - 1 = 0$

Khoảng cách từ điểm ${C^\prime }$ đến mặt phẳng $(MNP)$ bằng: $\frac{{\left| {\frac{{2a}}{a} + \frac{{3a}}{{2a}} + \frac{{4a}}{{3a}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{3a}}} \right)}^2}} }} = \frac{{23a}}{7}$

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (a;0;0)$ và $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$, suy ra $\overrightarrow {DC} = (a;0;0)$. Mà $D(0;b;0)$ nên $C(a;b;0)$.

Vì $B(a;0;0),C(a;b;0)$ nên trung điểm $M$ của BC có toạ độ là $\left( {a;\frac{b}{2};0} \right)$. Vì $S(0;0;c),C(a;b;0),D(0;b;0)$ nên trọng tâm $G$ của tam giác SCD có toạ độ là $\left( {\frac{a}{3};\frac{{2b}}{3};\frac{c}{3}} \right)$.

b) Phương trình mặt phẳng $(SBD)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$.

c) Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(SBD)$ là: $\frac{{\left| {\frac{{\frac{a}{3}}}{a} + \frac{{\frac{{2b}}{3}}}{b} + \frac{{\frac{c}{3}}}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{abc}}{{3\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.$