21 bài tập Viết phương trình mặt phẳng (có lời giải)

Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình tổng quát là

$(P):3x-5y+7z+5=0(m)và(Q):x+y-2=0(m)$

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $(P),(Q)$.

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ trong số các điểm: $A(1;3;1),B(1;2;3)$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 8$(\alpha ):x + 2y - z + 1 = 0$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$.

b) Vectơ $\vec m = (2;4; - 2)$ có là vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ hay không?

c) Trong hai điểm $A(1;3;2),B(1;1;4)$, điểm nào thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ ?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $2x + 3y - z + 2 = 0$.

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$.

b) Trong hai điểm $A(1;3;2)$ và $B(4; - 1;7)$, điểm nào thuộc $(\alpha )$ ?

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm $A(2;0;0)$ và nhận $\vec n = (2;1; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm $B(1;2;3)$ và song song với giá cùa mỗi vectơ $\vec u = (1;2;3)$ và $\vec v = ( - 2;0;1)$;

c) Đi qua ba điểm $A(1;0;0),B(0;2;0)$ và $C(0;0;4)$.

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua điểm $I( - 2;3;0)$ và nhận $\vec n = (4; - 1;5)$ làm vectơ pháp tuyến

b) $(P)$ đi qua ba điểm $A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;1)$.

Cho tứ diện ABCD có các đỉnh $A(4;0;2),B(0;5;1),C(4; - 1;3),D(3; - 1;5)$.

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$.

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua điểm $I(2;1; - 4)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3; - 4;5)$;

b) $(P)$ đi qua điểm $I(5; - 2;1)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\vec a = (3; - 1;4)$, $\vec b = (0;2; - 1)$;

c) $(P)$ đi qua ba điểm $A(0;3;7),B(2; - 5;4)$ và $C(1; - 4; - 1)$.

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ $ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ với $A(1;2;3),B(4;3;5)$, $C(2;3;2),{A^\prime }(1;1;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)$.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;1; - 1),B(3;2;1),C(3;1;4)$.

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$, với $A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)$.

a) Tìm tọa độ các điểm $C,{B^\prime },{D^\prime }$.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm $t$, vật thể ở vị trí $M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)$. Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Xác định toạ độ của vị trí ${M_1},{M_2},{M_3}$ của vật tương ứng với các thời điểm $t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi$.

b) Chứng minh rằng ${M_1},{M_2},{M_3}$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$.

c) Vị trí $M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)$ có luôn thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ hay không?