21 bài tập Viết phương trình mặt phẳng (có lời giải)

a) Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3; - 5;7)$. $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n^\prime } = (1;1;0)$.

b) Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình của $(P)$, ta được:$3.1 - 5.3 + 7.1 + 5 = 0.{\rm{ }}$Vậy $A$ thuộc $(P)$.

Thay toạ độ điểm $B$ vào phương trình $(P)$, ta được:$3.1 - 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \ne 0.$Vậy $B$ không thuộc $(P)$.

Vì $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;2;1)$ nên phương trình của $(P)$ là

$1(x - 1) + 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z - 8 = 0.$

$(P)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)$, suy ra $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\vec a,\vec b] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)$.

Phương trình của $(P)$ là: $5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0.$

$(P)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (0;1;1),\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)$, suy ra $(P)$ có vectơ pháp tuyến là: $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 1;3; - 3){\rm{. }}$

Phương trình của $(P)$ là $- 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z - 1 = 0.$

$(P)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = ( - a;b;0)$, $\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)$, do đó $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (bc;ac$; $ab)$. Suy ra $(P)$ có phương trình:

$bc(x - a) + ac(y - 0) + ab(z - 0) = 0$${\rm{ hay }}bcx + acy + abz - abc = 0.{\rm{ }}$

Nhận xét: Do a, b, c đều khác 0 nên có thể viết lại phương trình trên thành $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. Phương trình này gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

a) Mặt phẳng $(\alpha )$ nhận $\vec n = (1;2; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

b) Do $\vec m = 2\vec n$ mà $\vec n$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ nên $\vec m$ cũng là vecơ pháp tuyến của $(\alpha )$.

c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm $A(1;3;2),B(1;1;4)$, điểm nào có toạ độ thoả mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha )$.

Do $1 + 2 \cdot 3 - 2 + 1 \ne 0$ và $1 + 2 \cdot 1 - 4 + 1 = 0$ nên trong hai điểm A, B chỉ có toạ độ điểm $B$ thoả mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha )$. Vậy điểm $B$ thuộc mặt phẳng $(\alpha )$, điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha )$.

a) Một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec n = (2;3; - 1)$.

b) Thay lần lượt toạ độ của các điểm $A$ và $B$ vào vế trái của phương trình ( $\alpha$ ), ta có:

- $2.1 + 3.3 - 2 + 2 = 11 \ne 0$, nên toạ độ điểm $A$ không thoả mãn phương trình của $(\alpha )$. Vậy $A$ không thuộc $(\alpha )$.

$\cdot 2.4 + 3.( - 1) - 7 + 2 = 0$, nên toạ độ điểm $B$ thoả mãn phương trình của $(\alpha )$. Vậy $B$ thuộc $(\alpha )$.

a) $2x + y - z - 4 = 0$;

b) $2x - 7y + 4z = 0$;

c) $4x + 2y + z - 4 = 0$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}3x + 2y + z - 14 = 0.$

Câu 5 Cho hai điểm $M(2;1;0)$, $N(0;3;0)$. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.

Xét vectơ $\vec n = [\vec u,\vec v] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|} \right)$, tức là $\vec n = (5; - 3;7)$. Khi đó, $\vec n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$.

Vậy mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình là: $5 \cdot (x + 3) + ( - 3) \cdot (y - 1) + 7 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y + 7z + 18 = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = (0;1; - 1),\overrightarrow {AC} = ( - 1;1;0)$.

Xét vectơ $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right)$, tức là $\vec n = (1;1;1)$.

Khi đó, $\vec n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$.

Vậy mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình là: $1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0.$

a) Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $4 \cdot (x + 2) + ( - 1) \cdot (y - 3) + 5 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 4x - y + 5z + 11 = 0$.

b) Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 6 = 0.$

a) Mặt phẳng $(ABC)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1),\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (4;4;4)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $4(x - 4) + 4(y - 0) + 4(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0.$

Mặt phẳng $(ABD)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1),\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ] = (14;13;9)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABD)$là: $14(x - 4) + 13(y - 0) + 9(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 14x + 13y + 9z - 74 = 0.$

b) Phương trình mặt phẳng $(P)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3)$, $\overrightarrow {BC} = (4; - 6;2)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ] = (16;14;10)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $16(x - 0) + 14(y - 5) + 10(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 8x + 7y + 5z - 40 = 0.$

a) Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là: $3 \cdot (x - 2) - 4 \cdot (y - 1) + 5 \cdot (z + 4) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 5z + 18 = 0.{\rm{ }}$

b) Ta có:$[\vec a,\vec b] = ( - 7;3;6)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Phương trình của $(P)$ là: $( - 7) \cdot (x - 5) + 3 \cdot (y + 2) + 6 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow - 7x + 3y + 6z + 35 = 0$.

c) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (2; - 8; - 3),\overrightarrow {AC} = (1; - 7; - 8)$.

Khi đó, $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (43;13; - 6)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Vậy mặt phẳng $(P)$ có phương trình là: ${\rm{ 43}}{\rm{. }}(x - 0) + 13 \cdot (y - 3) - 6 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow 43x + 13y - 6z + 3 = 0.{\rm{ }}$

Ta có: $\overrightarrow {BC} = ( - 1; - 1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vậy phương trình $(P)$ là:

$( - 1) \cdot (x - 3) - 1 \cdot (y + 4) + 2 \cdot (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y + 2z - 5 = 0$

Mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ nhận $\overrightarrow {AB} = (3;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;1; - 1)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 3;5;2){\rm{. }}$

Mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)$ đi qua ${A^\prime }(1;1;1)$ và nhận $\vec n = ( - 3;5;2)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$- 3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0.$

a) Hai vectơ $\overrightarrow {AB} = (1;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;0;5)$ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Mặt phẳng (A B C) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = (1;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;0;5)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (5; - 3; - 1)$.

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2;1; - 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (5; - 3; - 1)$ nên có phương trình:

$5(x - 2) - 3(y - 1) - 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z - 8 = 0.$

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng $({\rm{P}})$.

Vì mặt phẳng $({\rm{P}})$ vuông góc với trục Ox nên nhận $\vec i = (1;0;0)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ đi qua điểm ${\rm{M}}(1;2; - 1)$ và nhận $\vec i = (1;0;0)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: $x - 1 = 0$.

a) Ta có $\overrightarrow {AD} = (1;0; - 2),\overrightarrow {A{A^\prime }} = ( - 1;2; - 1),\overrightarrow {AB} = ( - 1;3;1)$

Vi ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_C} = 1}\\{{y_C} - 2 = 0}\\{{z_C} - 4 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_C} = 1}\\{{y_C} = 2}\\{{z_C} = 2}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy C(1; 2; 2).

Vi ABB'A' là hình binh hành nên $\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {B{B^\prime }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_{{B^\prime }}} = - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} - 2 = 2}\\{{z_{{C^\prime }}} - 4 = - 1}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_{{B^\prime }}} = - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} = 4}\\{{z_{{C^\prime }}} = 3}\end{array}} \right.$. Vậy ${B^\prime }( - 1;4;3)$.

Vi ADD'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} - 1 = 0}\\{{z_{{D^\prime }}} - 2 = - 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} = 1}\\{{z_{{D^\prime }}} = 0}\end{array}} \right.$. Vậy ${D^\prime }(1;1;0)$.

b) Ta có: $\overrightarrow {C{B^\prime }} = ( - 2;2;1),\overrightarrow {C{D^\prime }} = (0; - 1; - 2)$

Vi mặt phẳng (CB' $\left. {{D^\prime }} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }}$ nên có một vectơ pháp tuyến là:

$\vec n = \left[ {\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = ( - 3; - 4;2){\rm{. }}$

Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm ${\rm{C}}(1;2;2)$ và nhận $\vec n = ( - 3; - 4;2)$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình là: $- 3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0.{\rm{ }}$

a) Thời điểm ${\rm{t}} = 0$, vật ở vị trí ${{\rm{M}}_1}(1;1;1)$.

Thời điểm $t = \frac{\pi }{2}$, vật ở vị trí ${{\rm{M}}_2}( - 1;1;0)$.

Thời điểm ${\rm{t}} = \pi$, vật ở vị trí ${{\rm{M}}_3}( - 1; - 1; - 1)$.

b) Có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)$ không cùng phương nên ba điểm ${{\rm{M}}_1},{{\rm{M}}_2},{{\rm{M}}_3}$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)$ có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)$ là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến: $\vec n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = ( - 2; - 2;4)$

Mặt phẳng $\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)$ đi qua ${{\rm{M}}_1}(1;1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = ( - 2; - 2;4)$ có phương trình là: $- 2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 1) = 0$ hay $2x +$ $2{\rm{y}} - 4{\rm{z}} = 0$.

c) Ta có 2(cost $- \sin t) + 2$ (cost + sint $) - 4$ cost $= 0$ nên vị trí $M(\cos t - \sin t$; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng $\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)$.

Do đó vị trí $M$ (cost - sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng $2x + 2y - 4z =$ 0.