15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích của một số với một vectơ có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

$\Leftrightarrow -\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow -(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

Ta có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MB}$.

Vì M là trung điểm AC nên AM = $\frac{AC}{2}$ = 2.

Tam giác ABM vuông tại A: $B{M}^{2}=A{B}^{2}+A{M}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow B{M}^{2}={3}^{2}+{2}^{2}=13$
$\Rightarrow BM=\sqrt{13}$

Ta suy ra $|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}|=|2\overrightarrow{MB}|=2.MB=2\sqrt{13}$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{a}=-7\overrightarrow{a}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.

Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.

Suy ra $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AE})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ đẳng thức $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, suy ra $|\overrightarrow{AB}|=|-3\overrightarrow{AC}|$, do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ ⇒ A đúng.

Đáp án B: Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC.

Ta suy ra $OA=\frac{1}{2}CA$.

Mà $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{CA}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})$⇒ B đúng.

Đáp án C: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OJ}$.

Mà $\overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{OJ}$ là hai vectơ đối nhau.

Do đó $2\overrightarrow{OI}\ne 2\overrightarrow{OJ}$.

Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ ⇒ C sai.

Đáp án D: Ta có OI là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}=2.\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}$ ⇒ D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.