15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích của một số với một vectơ có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

$\Leftrightarrow -\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow -(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

Ta có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MB}$.

Vì M là trung điểm AC nên AM = $\frac{AC}{2}$ = 2.

Tam giác ABM vuông tại A: $B{M}^{2}=A{B}^{2}+A{M}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow B{M}^{2}={3}^{2}+{2}^{2}=13$
$\Rightarrow BM=\sqrt{13}$

Ta suy ra $|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}|=|2\overrightarrow{MB}|=2.MB=2\sqrt{13}$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{a}=-7\overrightarrow{a}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.

Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.

Suy ra $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AE})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ đẳng thức $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, suy ra $|\overrightarrow{AB}|=|-3\overrightarrow{AC}|$, do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ ⇒ A đúng.

Đáp án B: Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC.

Ta suy ra $OA=\frac{1}{2}CA$.

Mà $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{CA}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})$⇒ B đúng.

Đáp án C: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OJ}$.

Mà $\overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{OJ}$ là hai vectơ đối nhau.

Do đó $2\overrightarrow{OI}\ne 2\overrightarrow{OJ}$.

Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ ⇒ C sai.

Đáp án D: Ta có OI là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}=2.\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}$ ⇒ D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó ta suy ra M là trung điểm IC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Ta có $4\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Suy ra M là trung điểm AC.

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm BC. Ta suy ra BH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Vì H là trung điểm BC nên ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}$.

Do đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|2\overrightarrow{AH}|=2AH$.

Tam giác ABC đều có AH là đường trung tuyến.

Suy ra AH cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABH vuông tại H: $A{H}^{2}=A{B}^{2}-B{H}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A{H}^{2}={a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}=\frac{3{a}^{2}}{4}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AH=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm AB. Ta suy ra $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$.

Ta có $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{BA}|$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=BA$

$\Leftrightarrow |2\overrightarrow{CI}|=AB$

⇔ 2.CI = AB

$\Leftrightarrow CI=\frac{1}{2}AB$

Do đó tam giác ABC vuông tại C (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền).

Vậy ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$ (với I là trung điểm AB).

Do đó $\overrightarrow{v}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Khi đó $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CI}$.

Suy ra I là trung điểm CD.

Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ MK // BP (K ∈ AC). Do M là trung điểm BC nên ta suy ra K là trung điểm CP (1).

Vì MK // NP, mà N là trung điểm AM nên ta suy ra P là trung điểm AK (2).

Từ (1), (2) ta suy ra AP = PK = KC.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$CP.

Ta có AC = AP + CP.

Suy ra AC = $\frac{3}{2}$CP.

Vì $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CP}$ ngược hướng với nhau.

Nên $\overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{CP}$.

Do đó x = $-\frac{3}{2}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựng điểm M, N sao cho $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{ON}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$. Khi đó ta có:

$|\overrightarrow{u}|=|\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}|=|\overrightarrow{NM}|=MN$.

Từ dữ kiện $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}$.

Ta suy ra $\overrightarrow{OM}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA}$.

Vì $\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{OA}$ có cùng điểm đầu là O.

Nên giá của $\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{OA}$ trùng nhau.

Do đó ta có OM ≡ OA.

Tương tự ta có ON ≡ OB.

Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).

Do đó OM ⊥ ON.

Ta có $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}\Leftrightarrow |\overrightarrow{OM}|=|\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}|\Leftrightarrow OM=\frac{21}{4}OA=\frac{21a}{4}$.

Tương tự, ta có $\overrightarrow{ON}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow |\overrightarrow{ON}|=|\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}|\Leftrightarrow ON=\frac{5}{2}OB=\frac{5a}{2}$.

Tam giác OMN vuông tại O: $M{N}^{2}=O{M}^{2}+O{N}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow M{N}^{2}=\frac{441{a}^{2}}{16}+\frac{25{a}^{2}}{4}=\frac{541{a}^{2}}{16}$

$\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{541}}{4}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra $2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên $AG=\frac{2}{3}AI$.

Mà $\overrightarrow{AG},\ \overrightarrow{AI}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$.

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow -(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$.

Vì N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND})+2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Vì O là trung điểm AC và M là điểm tùy ý nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ (1).

Vì O là trung điểm BD và M là điểm tùy ý nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$ (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

Vậy ta chọn đáp án D.