15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Định lí côsin và định lí sin có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{5}^{2}+{(5\sqrt{2})}^{2}-{(5\sqrt{5})}^{2}}{2.5.5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{A}=135^{\circ}.$

Vậy $\widehat{A}=135^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=105^{\circ},\widehat{B}=45^{\circ}$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-105^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{10}{\sin 45^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ}}\Rightarrow AB=\frac{10.\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=5\sqrt{2}.$

Vậy $AB=5\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{3}^{2}+{6}^{2}-{(3\sqrt{3})}^{2}}{2.3.6}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B}=60^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\widehat{A}$ là góc tù nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{matrix}$ $\Rightarrow \{\begin{matrix}\widehat{B}=45^{\circ} \\ \widehat{C}=30^{\circ}\end{matrix}$ (vì $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=45^{\circ},\widehat{C}=30^{\circ}$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-45^{\circ}-35^{\circ}=105^{\circ}$

Vậy $\widehat{A}=105^{\circ}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2.AC.BC}=\frac{{3}^{2}+{4}^{2}-{2}^{2}}{2.3.4}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}$