15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Định lí côsin và định lí sin có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{5}^{2}+{(5\sqrt{2})}^{2}-{(5\sqrt{5})}^{2}}{2.5.5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{A}=135^{\circ}.$

Vậy $\widehat{A}=135^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=105^{\circ},\widehat{B}=45^{\circ}$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-105^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{10}{\sin 45^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ}}\Rightarrow AB=\frac{10.\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=5\sqrt{2}.$

Vậy $AB=5\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{3}^{2}+{6}^{2}-{(3\sqrt{3})}^{2}}{2.3.6}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B}=60^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\widehat{A}$ là góc tù nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{matrix}$ $\Rightarrow \{\begin{matrix}\widehat{B}=45^{\circ} \\ \widehat{C}=30^{\circ}\end{matrix}$ (vì $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=45^{\circ},\widehat{C}=30^{\circ}$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-45^{\circ}-35^{\circ}=105^{\circ}$

Vậy $\widehat{A}=105^{\circ}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2.AC.BC}=\frac{{3}^{2}+{4}^{2}-{2}^{2}}{2.3.4}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.20.10.\sin 60^{\circ}=50\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Vậy $S=50\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác có độ dài ba cạnh $\sqrt{3},\sqrt{2}$, 1 là: $p=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$

Diện tích tam giác theo công thức Heron là: $S=\sqrt{p.(p-\sqrt{3}).(p-\sqrt{2}).(p-1)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $S=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}$

Nếu BC$^{2}$ < AB$^{2}$ + AC$^{2}$ thì AB$^{2}$ + AC$^{2}$ ‒ BC$^{2}$ > 0

Do đó $\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}>0$ hay cosA > 0

Mà $0^{\circ}<\widehat{A}<180^{\circ}$

Þ Góc $\widehat{A}$ là góc nhọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}+\widehat{C}=135^{\circ}$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})$

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{BC}{2.\sin A}=\frac{a}{2.\sin 45^{\circ}}=\frac{a}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.120}{10.24}=1$

Mà $0^{\circ}<\widehat{A}<180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{A}=90^{\circ}$

Þ DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ Þ BC$^{2}$ = 10$^{2}$ + 24$^{2}$ = 676

Þ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.26=13.$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó $EC=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.30=15(cm)$

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $GE=\frac{1}{3}BE$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay $\frac{GE}{BE}=\frac{1}{3}.$

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó $\frac{GH}{BA}=\frac{GE}{BE}$ (định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay $\frac{GH}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow GH=\frac{1}{3}.BA=\frac{1}{3}.30=10(cm)$

Diện tích tam giác GEC là: ${S}_{GEC}=\frac{1}{2}.GH.EC=\frac{1}{2}.10.15=75(c{m}^{2})$

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác có độ dài ba cạnh là 5, 12, 13 ta có: 5$^{2}$ + 12$^{2}$ = 169 và 13$^{2}$ = 169.

Do đó 5$^{2}$ + 12$^{2}$ = 13$^{2}$ nên tam giác này là tam giác vuông (định lí Py – ta – go đảo)

Diện tích tam giác này là: $S=\frac{1}{2}.5.12=30$ (đơn vị diện tích)

Nửa chu vi tam giác này là: $p=\frac{5+12+13}{2}=15$

Mặt khác S = pr $p=\frac{5+12+13}{2}=15$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C$.

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

${S}^{'}=\frac{1}{2}.2BC.3AC.\sin C=6.(\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C)=6S$.

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B:

Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8 được mô tả như hình vẽ, do đó AD = 4, AC = 6, BD = 8.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Þ AO = 3 và DO = 4.

Áp dụng hệ quả định lí côsin vào tam giác ADO ta có:

$cos\widehat{ADO}=\frac{A{D}^{2}+D{O}^{2}-A{O}^{2}}{2.AD.DO}=\frac{{4}^{2}+{4}^{2}-{3}^{2}}{2.4.4}=\frac{23}{32}$ $\Rightarrow cos\widehat{ADB}=\frac{23}{32}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD ta có:

AB$^{2}$ = AD$^{2}$ + BD$^{2}$ – 2.AD.BD.$cos\widehat{ADB}$

Þ AB$^{2}$ = 4$^{2}$ + 8$^{2}$ – 2.4.8.$\frac{23}{32}$ = 34

$\Rightarrow AB=\sqrt{34}.$

Vậy độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 của hình bình hành đó là $\sqrt{34}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.(\frac{2+\sqrt{2}}{2})$

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{{a}^{2}}{2}$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{{a}^{2}}{2}}{a.(\frac{2+\sqrt{2}}{2})}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$ và $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{{a}^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$