15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Đáp án đúng là: D

• Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ , với a$^{2}$ = 25, b$^{2}$ = 9.

Ta suy ra a = 5, b = 3 (vì a, b > 0).

Ta có b = $\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$

⇔ b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$

⇔ c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ = 25 – 9 = 16.

⇔ c = 4.

Vậy các tiêu điểm của elip (E) là: F$_{1}$(–4; 0), F$_{2}$(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$

Do đó phương án B đúng.

• Đỉnh A$_{1}$(–a; 0).

Suy ra A$_{1}$(–5; 0).

Do đó phương án C đúng.

• Độ dài trục nhỏ là 2b = 2.3 = 6 ≠ 3.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có 4x$^{2}$ – y$^{2}$ = 1.

Suy ra $\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$

Hay $\frac{{x}^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{1}^{2}}=1$

Khi đó ta có a = 1/2, b = 1.

• Ta có $b=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$

Suy ra $c=\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy hypebol (H) có tiêu cự là 2c =$\sqrt{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{2}$

Do đó phương án A sai.

• Ta có $c=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Suy ra hai tiêu điểm của (H) là ${F}_{1}(-\frac{\sqrt{5}}{2};0),\ {F}_{2}(\frac{\sqrt{5}}{2};0)$

Do đó phương án B sai.

• Ta có trục thực là: A$_{1}$A$_{2}$ = 2a = 2.1/2 = 1.

Do đó phương án C đúng.

• Ta có trục ảo là: 2b = 2.1 = 2 ≠ 1/2.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

• Ta có (P): y$^{2}$ = 16x nên 2p = 16.

Suy ra p = 8.

Do đó $\frac{p}{2}=\frac{8}{2}=4$

Vì vậy (P) có tiêu điểm F(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có O(0; 0) là đỉnh của parabol (P) và Ox là trục đối xứng của parabol (P).

Do đó phương án B, D đúng.

Đến đây ta có thể chọn đáp án C.

• Phương trình đường chuẩn ∆ có dạng: $x=-\frac{p}{2}=-4$ .

Do đó phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ .

Suy ra $\frac{2b}{2c}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow b=c\sqrt{2}\ \Leftrightarrow \sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=c\sqrt{2}$

⇔ a$^{2}$ – c$^{2}$ = 2c$^{2}$

⇔ a$^{2}$ = 3c$^{2}$.

Lại có tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

Ta suy ra (2a)$^{2}$ + (2c)$^{2}$ = 64.

⇔ 4a$^{2}$ + 4c$^{2}$ = 64.

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 16.

⇔ 3c$^{2}$ + c$^{2}$ = 16.

⇔ 4c$^{2}$ = 16.

⇔ c$^{2}$ = 4.

⇔ c = 2 (vì c > 0).

Với c = 2, ta có:

• a$^{2}$ = 3c$^{2}$ = 3.2$^{2}$ = 12.

• b = $c\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Suy ra b$^{2}$ = 8.

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo

Ta suy ra 2a = 2.2b.

Do đó a = 2b.

Hypebol có tiêu cự bằng $4\sqrt{15}$ .

Ta suy ra 2c = $4\sqrt{15}$.

Do đó $c=2\sqrt{15}$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2\sqrt{15}$

⇔ 4b$^{2}$ + b$^{2}$ = 60.

⇔ 5b$^{2}$ = 60.

⇔ b$^{2}$ = 12.

$\Leftrightarrow b=2\sqrt{3}$

Suy ra ${a}^{2}=48$

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{{x}^{2}}{48}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$

Do đó ta chọn phương án A.