15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Đáp án đúng là: D

• Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ , với a$^{2}$ = 25, b$^{2}$ = 9.

Ta suy ra a = 5, b = 3 (vì a, b > 0).

Ta có b = $\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$

⇔ b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$

⇔ c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ = 25 – 9 = 16.

⇔ c = 4.

Vậy các tiêu điểm của elip (E) là: F$_{1}$(–4; 0), F$_{2}$(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$

Do đó phương án B đúng.

• Đỉnh A$_{1}$(–a; 0).

Suy ra A$_{1}$(–5; 0).

Do đó phương án C đúng.

• Độ dài trục nhỏ là 2b = 2.3 = 6 ≠ 3.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có 4x$^{2}$ – y$^{2}$ = 1.

Suy ra $\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$

Hay $\frac{{x}^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{1}^{2}}=1$

Khi đó ta có a = 1/2, b = 1.

• Ta có $b=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$

Suy ra $c=\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy hypebol (H) có tiêu cự là 2c =$\sqrt{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{2}$

Do đó phương án A sai.

• Ta có $c=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Suy ra hai tiêu điểm của (H) là ${F}_{1}(-\frac{\sqrt{5}}{2};0),\ {F}_{2}(\frac{\sqrt{5}}{2};0)$

Do đó phương án B sai.

• Ta có trục thực là: A$_{1}$A$_{2}$ = 2a = 2.1/2 = 1.

Do đó phương án C đúng.

• Ta có trục ảo là: 2b = 2.1 = 2 ≠ 1/2.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

• Ta có (P): y$^{2}$ = 16x nên 2p = 16.

Suy ra p = 8.

Do đó $\frac{p}{2}=\frac{8}{2}=4$

Vì vậy (P) có tiêu điểm F(4; 0).

Do đó phương án A đúng.

• Ta có O(0; 0) là đỉnh của parabol (P) và Ox là trục đối xứng của parabol (P).

Do đó phương án B, D đúng.

Đến đây ta có thể chọn đáp án C.

• Phương trình đường chuẩn ∆ có dạng: $x=-\frac{p}{2}=-4$ .

Do đó phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ .

Suy ra $\frac{2b}{2c}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow b=c\sqrt{2}\ \Leftrightarrow \sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=c\sqrt{2}$

⇔ a$^{2}$ – c$^{2}$ = 2c$^{2}$

⇔ a$^{2}$ = 3c$^{2}$.

Lại có tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

Ta suy ra (2a)$^{2}$ + (2c)$^{2}$ = 64.

⇔ 4a$^{2}$ + 4c$^{2}$ = 64.

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 16.

⇔ 3c$^{2}$ + c$^{2}$ = 16.

⇔ 4c$^{2}$ = 16.

⇔ c$^{2}$ = 4.

⇔ c = 2 (vì c > 0).

Với c = 2, ta có:

• a$^{2}$ = 3c$^{2}$ = 3.2$^{2}$ = 12.

• b = $c\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Suy ra b$^{2}$ = 8.

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo

Ta suy ra 2a = 2.2b.

Do đó a = 2b.

Hypebol có tiêu cự bằng $4\sqrt{15}$ .

Ta suy ra 2c = $4\sqrt{15}$.

Do đó $c=2\sqrt{15}$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2\sqrt{15}$

⇔ 4b$^{2}$ + b$^{2}$ = 60.

⇔ 5b$^{2}$ = 60.

⇔ b$^{2}$ = 12.

$\Leftrightarrow b=2\sqrt{3}$

Suy ra ${a}^{2}=48$

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{{x}^{2}}{48}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Phương trình parabol có dạng: y$^{2}$ = 2px.

Ta thấy chỉ có phương trình của đáp án B có dạng phương trình parabol trên.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ , với a = 13, b = 12.

Ta có $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{169-144}=5$

Khi đó F$_{1}$(–5; 0) và F$_{2}$(5; 0).

Với M(x$_{M}$; y$_{M}$) ta có: $\overrightarrow{{F}_{1}M}=({x}_{M}+5;{y}_{M})nên{F}_{1}M=\sqrt{{({x}_{M}+5)}^{2}+{y}_{M}^{2}}\ {F}_{1}M=\sqrt{{({x}_{M}+5)}^{2}+144.(1-\frac{{x}_{M}^{2}}{169})}\ {F}_{1}M=\sqrt{169+10{x}_{M}+\frac{25}{169}{x}_{M}^{2}}\ {F}_{1}M=\sqrt{{(13+\frac{5}{13}{x}_{M})}^{2}}\ {F}_{1}M=13+\frac{5}{13}{x}_{M}\$

(do F$_{1}$M > 0).

Tương tự ta có ${F}_{2}M=13-\frac{5}{13}{x}_{M}$

Mà theo bài x$_{M}$ = –13 nên ta có:

• MF$_{1}$ = $13+\frac{5}{13}.(-13)=8$

• MF$_{2}$ = $13-\frac{5}{13}.(-13)=18$

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

(H): $\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$

Ta có a = 6, b = 3.

Suy ra:

⦁ Độ dài trục ảo là: 2.3 = 6;

⦁ Độ dài trục thực là: 2.6 = 12.

Khi đó tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực $\frac{2b}{2a}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của parabol (P) có dạng: y$^{2}$ = 2px.

Ta có A(3; 4) ∈ (P).

Suy ra 4$^{2}$ = 2.p.3

Do đó 16 = 6p

Khi đó ta có p = 8/3 suy ra 2p = 16/3

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P): ${y}^{2}=\frac{16}{3}x$

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

(H): $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$ nên ta có a = b = 2.

Suy ra $c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$

Khi đó ta có:

⦁ Tiêu cự là: 2c = $2.2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ ;

⦁ Độ dài trục thực là: 2a = 2.2 = 4.

Khi đó $\frac{2c}{2a}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có $2p=\frac{64}{5}$

Suy ra $p=\frac{32}{5}$

Do đó $\frac{p}{2}=\frac{16}{5}$

Khi đó ta có tiêu điểm $F(\frac{16}{5};0)$

Với $F(\frac{16}{5};0)$ và M(5; 8) ta có $\overrightarrow{FM}=(\frac{9}{5};8)$

Suy ra $FM=\sqrt{{(\frac{9}{5})}^{2}+{8}^{2}}=\frac{41}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường chuẩn ∆: x + 5 = 0

Do đó ta có p/2 = 5

Suy ra p = 10.

Từ đó ta thu được phương trình parabol (P): y$^{2}$ = 20x.

Tiêu điểm F của (P) là F(5; 0).

Giả sử điểm M(x$_{M}$; y$_{M}$) là điểm thuộc (P).

Khi đó ${y}_{M}^{2}=20{x}_{M}$

Với F(5; 0) và M(x$_{M}$; y$_{M}$) ta có $\overrightarrow{FM}=({x}_{M}-5;{y}_{M})$

Þ $FM=\sqrt{{({x}_{M}-5)}^{2}+{y}_{M}^{2}}$

$FM=\sqrt{{x}_{M}^{2}-10{x}_{M}+25+20{x}_{M}}\ FM=\sqrt{{x}_{M}^{2}+10{x}_{M}+25}\ FM=\sqrt{{({x}_{M}+5)}^{2}}={x}_{M}+5$

Theo đề, ta có FM = 6.

Û x$_{M}$ + 5 = 6

Û x$_{M}$ = 1.

Với x$_{M}$ = 1, ta có ${y}_{M}^{2}=20.1=20$

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài trục lớn bằng 4 m. Suy ra 2a = 4.

Khi đó a = 2.

Lại có độ dài trục nhỏ bằng 2m. Suy ra 2b = 2.

Khi đó b = 1.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ = 2$^{2}$ – 1$^{2}$ = 3.

Suy ra $c=\sqrt{3}$

Vì vậy F$_{1}$F$_{2}$ = 2c = $2\sqrt{3}$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{{r}^{2}}{36}-\frac{{(-25)}^{2}}{49}=1\ \Leftrightarrow \frac{{r}^{2}}{36}=1+\frac{{(-25)}^{2}}{49}=\frac{674}{49}\ \Leftrightarrow {r}^{2}=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}\ Suyrar=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx 22{,}25$

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Phương trình parabol có dạng y$^{2}$ = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2}=\frac{10}{2}=5$

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.