5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta thấy chiều cao của cổng hầm là: b = 10 – 4 = 6 (m).

Chiều rộng của cổng hầm là: 2a = 20 – 2.2 = 16 (m).

Suy ra a = 8 (m).

Khi đó ta có phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thấy đường kính đường tròn chính bằng trục lớn của Elip.

Nên 2a = 2R = 20 (cm), suy ra a = 10 (cm).

Ta có tiêu cự của Elip là 16 cm nên 2c = 16, suy ra c = 8 (cm).

Khi đó b$^{2}$ = c$^{2}$ – a$^{2}$ = 10$^{2}$ – 8$^{2}$ = 36

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp và do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{{r}^{2}}{36}-\frac{{(-25)}^{2}}{49}=1$.

$\Leftrightarrow \frac{{r}^{2}}{36}=1+\frac{{(-25)}^{2}}{49}=\frac{674}{49}$.

$\Leftrightarrow {r}^{2}=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}$.

Suy ra $r=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx 22{,}25$ (m).

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Gọi O là đỉnh cổng, A là chân cổng và C, D lần lượt là hai bên trái, phải chân cổng.

Theo bài ra ta có: OA = 20 m, CD = 20 m.

Gọi phương trình Parabol của cổng là y$^{2}$ =2px.

Ta có: AC = AD = CD : 2 = 10 (m)

Do đó điểm D có tung độ là 10.

OA = 20 nên điểm D có hoành độ là 20.

Thay D(20; 10) vào phương trình (P) ta có: ${10}^{2}=2p.20\Rightarrow p=\frac{5}{2}$

Suy ra y$^{2}$ = 5x.

Thay tọa độ điểm E cách đỉnh 4 m (x = 4) vào (P) ta có:

y$^{2}$ = 5x = 5 . 4 = 20 $\Rightarrow y=\sqrt{20}=2\sqrt{5}(m)$

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 4 m là $2\sqrt{5}$m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tọa độ giao điểm của d và Elip là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}x-2y+m=0 \\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{1}=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=2y-m \\ \frac{{(2y-m)}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{1}=1\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=2y-m \\ 4{y}^{2}-4my+{m}^{2}+4{y}^{2}=4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=2y-m \\ 8{y}^{2}-4my+{m}^{2}-4=0\ (*)\end{matrix}$

Hai đồ thị có hai giao điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt y.

$\Leftrightarrow {Δ}_{(*)}^{'}>0\Leftrightarrow {(-2m)}^{2}-8.({m}^{2}-4)>0$

$\Leftrightarrow$– 4m$^{2}$ + 32 > 0

$\Leftrightarrow$ m$^{2}$ < 8 $\Leftrightarrow -2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}.$

Vậy ta chọn phương án D.