12 bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên có lời giải

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ $\frac{9}{4}$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

Có P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{4\sqrt x - 6}} = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}$.

Ta có: $P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = \frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}$ (vì x > 0 nên $\sqrt x > 0$).

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $\frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}$ nguyên

hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }}$ ∈ Ư(1) = {1; −1}.

Khi đó P = 1 hoặc P = −1.

Với P = 1 hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }}$ = 1 khi $\sqrt x$ = 3 suy ra x = 9 (thỏa mãn).

Với P = −1 hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }} = - 1$ khi $\sqrt x = 1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 9} thì P nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$.

Vậy B = $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = $\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}$.

Xét P = 0 khi $\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0$ suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; $\sqrt x$ là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; $\sqrt x$∈ ℤ.

Ta có: $P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$.

Để P ∈ ℤ thì $\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$ ∈ ℤ suy ra $\frac{3}{{\sqrt x + 2}}$ ∈ ℤ.

Do đó, $\left( {\sqrt x + 2} \right) \in$Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do $\sqrt x + 2$ ≥ 2 nên $\sqrt x + 2$ = 3 suy ra $\sqrt x = 1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x - 3}}$

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{3\sqrt x - 21 + 2\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{5\sqrt x - 15}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 3}}$.

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{{\sqrt x + 3}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(5).

Mà Ư(5) = {1; 5; −1; −5}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3$ ≥ 3 với vọi x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, $\sqrt x + 3$ = 5, suy ra $\sqrt x$ = 2 do đó, x = 4 (thỏa mãn).

Vậy x = 4 thì A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có:

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$.

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, M = $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}$.

Để M nguyên thì $\frac{4}{{\sqrt x - 3}}$ nguyên hay $\sqrt x - 3$ là Ư(4).

Mà Ư(4) = {1; 4; −1; −4; 2; −2}.

• Với $\sqrt x - 3$ = 1 suy ra x = 16 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −1 suy ra x = 4 (loại).

• Với $\sqrt x - 3$ = 2 suy ra x = 25 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −2 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = 4 suy ra x = 49 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −4 suy ra $\sqrt x$ = −1 (loại).

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {1; 25; 16; 49}.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x + 15} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{x + 15\sqrt x - x\sqrt x - 3x + 2x\sqrt x + 5x - 6x - 15\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$A = \frac{{x\sqrt x - 3x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

Với x > 0, x ≠ 9 có $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$ > 0.

Lại có: A = $1 - \frac{3}{{\sqrt {x + 3} }} < 1$.

Do đó 0 < A < 1.

Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

>>