12 bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên có lời giải

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ $\frac{9}{4}$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

Có P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{4\sqrt x - 6}} = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}$.

Ta có: $P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = \frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}$ (vì x > 0 nên $\sqrt x > 0$).

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $\frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}$ nguyên

hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }}$ ∈ Ư(1) = {1; −1}.

Khi đó P = 1 hoặc P = −1.

Với P = 1 hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }}$ = 1 khi $\sqrt x$ = 3 suy ra x = 9 (thỏa mãn).

Với P = −1 hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }} = - 1$ khi $\sqrt x = 1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 9} thì P nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$.

Vậy B = $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = $\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}$.

Xét P = 0 khi $\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0$ suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; $\sqrt x$ là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; $\sqrt x$∈ ℤ.

Ta có: $P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$.

Để P ∈ ℤ thì $\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$ ∈ ℤ suy ra $\frac{3}{{\sqrt x + 2}}$ ∈ ℤ.

Do đó, $\left( {\sqrt x + 2} \right) \in$Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do $\sqrt x + 2$ ≥ 2 nên $\sqrt x + 2$ = 3 suy ra $\sqrt x = 1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x - 3}}$

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{3\sqrt x - 21 + 2\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{5\sqrt x - 15}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 3}}$.

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{{\sqrt x + 3}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(5).

Mà Ư(5) = {1; 5; −1; −5}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3$ ≥ 3 với vọi x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, $\sqrt x + 3$ = 5, suy ra $\sqrt x$ = 2 do đó, x = 4 (thỏa mãn).

Vậy x = 4 thì A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có:

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$.

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, M = $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}$.

Để M nguyên thì $\frac{4}{{\sqrt x - 3}}$ nguyên hay $\sqrt x - 3$ là Ư(4).

Mà Ư(4) = {1; 4; −1; −4; 2; −2}.

• Với $\sqrt x - 3$ = 1 suy ra x = 16 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −1 suy ra x = 4 (loại).

• Với $\sqrt x - 3$ = 2 suy ra x = 25 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −2 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = 4 suy ra x = 49 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −4 suy ra $\sqrt x$ = −1 (loại).

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {1; 25; 16; 49}.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x + 15} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{x + 15\sqrt x - x\sqrt x - 3x + 2x\sqrt x + 5x - 6x - 15\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$A = \frac{{x\sqrt x - 3x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

Với x > 0, x ≠ 9 có $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$ > 0.

Lại có: A = $1 - \frac{3}{{\sqrt {x + 3} }} < 1$.

Do đó 0 < A < 1.

Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

>>

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 và x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{x - \sqrt x - 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x - 2}}$.

Ta có: P = A : B = $\frac{{9 - 3\sqrt x }}{{x - 4}}:\frac{{\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{3\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( { - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}$.

Có $P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$.

Do x ≥ 0 suy ra 0 < $\frac{5}{{\sqrt x + 2}}$ ≤ $\frac{5}{2}$.

Đêt P nguyên thì $\frac{5}{{\sqrt x + 2}}$ nhận giá trị nguyên.

Do đó P = 1 hoặc P = 2.

Với P = 1 thì $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1$ hay $\sqrt x + 2$ = 5 suy ra x = 9 .

Với P = 2 thì $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2$ hay $\sqrt x + 2 = \frac{5}{2}$ suy ra x = $\frac{1}{4}$.

Thử lại:

Khi x = 9 thì P = 0 (loại).

Khi x = $\frac{1}{4}$ thì P = −1 (thỏa mãn).

Vậy x = $\frac{1}{4}$.

>

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{x + \sqrt x - 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }}$

$B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - \sqrt x - 7 + x - 4 - x + 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$.

b) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

M = A.B = $\frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 1}}$. $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$.

Hay $M = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 9 + 6}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + 6}}{{\sqrt x + 3}} = \sqrt x - 3 + \frac{6}{{\sqrt x + 3}}$.

Xét x = 3 thì M = 0 (thỏa mãn). Vậy x = 3 thỏa mãn.

Xét x ≠ 3, x ∈ ℤ nhưng $\sqrt x \notin \mathbb{Z}$. Do đó M $\notin \mathbb{Z}$.

Xét x ∈ ℤ, $\sqrt x \in \mathbb{Z}$ suy ra M ∈ ℤ:

Suy ra $\frac{6}{{\sqrt x + 3}}$ là số nguyên hay $\sqrt x + 3$ là Ư(6).

Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 4.

Suy ra $\sqrt x + 3 = 3$ hoặc $\sqrt x + 3 = 6$.

Do đó, x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 9 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {0; 3; 9} thì M nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

$A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$A = \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$A = \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}$.

b) Ta có: $A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(19).

Mà Ư(19) = {1; 19; −1; −19}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

Suy ra $\sqrt x + 3$ = 19 hay x = 256 (thỏa mãn).

Vậy x = 256 thì A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 11 - x + 2\sqrt x + 2x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x + 4\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: P = A.B = $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}$.

Để P nhận giá trị nguyên thì $\frac{4}{{\sqrt x + 2}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 2$ là ước của 4.

Nhận thấy $\sqrt x + 2 \ge 2$ với x ≥ 0; x ≠ 4 nên $\sqrt x + 2$ = 2 hoặc $\sqrt x + 2$ = 4.

Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).

Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

$B = \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$.

Ta có: P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$: $\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$

= $\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$. $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta có: P = $\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}$.

Để P đạt giá trị nguyên thì $\frac{8}{{\sqrt x + 3}}$ nhận giá trị nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(8).

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$với x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, $\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;8\}$

Với $\sqrt x + 3$ = 4 thì x = 1 (thỏa mãn).

Với $\sqrt x + 3$ = 8 thì x = 25 (thỏa mãn).

Vậy giá trị x nguyên nhỏ nhất để P nhận giá trị nguyên là x = 1.

a) Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{2\sqrt x + 1}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{2x - 3\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 3}}{{5x - 10\sqrt x }}$

$A = \left[ {\frac{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5x - 10\sqrt x }}{{2\sqrt x + 3}}$

$A = \left[ {\frac{{4\sqrt x + 2 + 3\sqrt x - 6 - 5\sqrt x + 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\sqrt x + 3}}$

$A = \left[ {\frac{{2\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$.

b) Ta có: $\sqrt x$ > 0 với mọi x > 0, x ≠ 4 nên $A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$ > 0 với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: $A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{5}{2} - \frac{5}{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} < \frac{5}{2}$ với x > 0, x ≠ 4.

Do đó, 0 < A < $\frac{5}{2}$.

Để A nhận giá trị nguyên thì A = 1 hoặc A = 2.

Với A = 1, suy ra $\frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = 1$ hay $5\sqrt x = 2\sqrt x + 1$ suy ra $\sqrt x = \frac{1}{3}$ khi x = $\frac{1}{9}$ (thỏa mãn).

Với A = 2, suy ra $\frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = 2$ hay $5\sqrt x = 4\sqrt x + 2$ suy ra $\sqrt x = 2$ khi x = 4 (loại).

Vậy với x = $\frac{1}{9}$ thì A nhận giá trị nguyên.

Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:

$B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}$

$B = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}} \right].\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 16}}$

$B = \frac{{x - 4\sqrt x + 4\sqrt x + 16}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {x + 16} \right)}}$

$B = \frac{{x + 16}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {x + 16} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}$.

Ta có: M = B(A – 1)

= $\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\left[ {\frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}} - 1} \right]$

= $\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\frac{{\sqrt x + 4 - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$

= $\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}} = \frac{2}{{x - 16}}$.

Để M = B(A – 1) nguyên, x nguyên thì x – 16 là ước của 2.

Mà Ư(2) = {−1; 1; 2; −2}.

• Với x – 16 = −1 thì x = 15 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = 1 thì x = 17 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = −2 thì x = 14 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = 2 thì x = 18 (thỏa mãn).

Kết hợp điều kiện để B(A – 1) nguyên thì x ∈ {14; 15; 17; 18}.