12 bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai có lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}$.

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ hay x = 2.

Vậy GTNN của A = $2\sqrt 2$ khi x = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = \frac{{2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$.

Với x ≥ 0, ta có: $\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}$.

Do đó, 2 + $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2} + 2$ hay B ≤ $\frac{9}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vật GTLN của B = $\frac{9}{2}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $C = \frac{{2\sqrt x + 11}}{{3\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right) + \frac{{29}}{3}}}{{3\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right)}} = \frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}}$.

Với x ≥ 0, ta có: $3\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $3\left( {3\sqrt x + 2} \right) \ge 6$.

Do đó, $\frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{29}}{6}$ .

Suy ra $\frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{11}}{2}$ hay C ≤ $\frac{{11}}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của C = $\frac{{11}}{2}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x > 0.

Ta có: $D = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{x} = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 2.\frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}$.

Nhận thấy ${\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}$ hay D $\ge \frac{3}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }} = 0$ suy ra $\sqrt x = 2$ khi x = 4.

Vậy GTNN của của D = $\frac{3}{4}$ khi x = 4.

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$D = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \frac{{\left[ {x\sqrt x + 2x + \sqrt x - 2x - 4\sqrt x - 2 - x\sqrt x + \sqrt x - 2x + 2} \right]}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2}$

$D = \frac{{\left( { - 2x - 2\sqrt x } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{2} = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)$.

Ta có: $D = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - x + \sqrt x = - x + 2.\frac{1}{2}\sqrt x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}$.

Nhận thấy $- {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0$ nên $- {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = $\frac{1}{4}$.

Vậy GTLN của D = $\frac{1}{4}$ khi x = $\frac{1}{4}$.