12 bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai có lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}$.

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ hay x = 2.

Vậy GTNN của A = $2\sqrt 2$ khi x = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = \frac{{2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$.

Với x ≥ 0, ta có: $\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}$.

Do đó, 2 + $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2} + 2$ hay B ≤ $\frac{9}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vật GTLN của B = $\frac{9}{2}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $C = \frac{{2\sqrt x + 11}}{{3\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right) + \frac{{29}}{3}}}{{3\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right)}} = \frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}}$.

Với x ≥ 0, ta có: $3\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $3\left( {3\sqrt x + 2} \right) \ge 6$.

Do đó, $\frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{29}}{6}$ .

Suy ra $\frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{11}}{2}$ hay C ≤ $\frac{{11}}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của C = $\frac{{11}}{2}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x > 0.

Ta có: $D = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{x} = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 2.\frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}$.

Nhận thấy ${\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}$ hay D $\ge \frac{3}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }} = 0$ suy ra $\sqrt x = 2$ khi x = 4.

Vậy GTNN của của D = $\frac{3}{4}$ khi x = 4.

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$D = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \frac{{\left[ {x\sqrt x + 2x + \sqrt x - 2x - 4\sqrt x - 2 - x\sqrt x + \sqrt x - 2x + 2} \right]}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2}$

$D = \frac{{\left( { - 2x - 2\sqrt x } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{2} = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)$.

Ta có: $D = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - x + \sqrt x = - x + 2.\frac{1}{2}\sqrt x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}$.

Nhận thấy $- {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0$ nên $- {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = $\frac{1}{4}$.

Vậy GTLN của D = $\frac{1}{4}$ khi x = $\frac{1}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Với x > 0 và x ≠ 1, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$.

Có: $P = \frac{A}{B} + 2018$ với x > 1.

$= \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }} + 2018$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 2}} + 2018$

$= \frac{x}{{\sqrt x - 1}} + 2018$

$= \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018$

$= \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018$

$= \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020$

Với x > 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} = 2$

Suy ra $\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020 \ge 2022$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$ hay x = 4 (do x > 1).

Vậy GTNN của P = 2022 khi x = 4.

Đáp án đúng là: D

Với x > 0, ta có:

$Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{2\sqrt x + 5}}{{9 - x}}$

$Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$Q = \frac{{x - 2\sqrt x - 3 + 2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$.

Có A = P.Q = $\frac{{x - 9}}{{\sqrt x }}.\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}$

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ hay x = 2 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của A = $2\sqrt 2$ khi x = 2.

Đáp án đúng là: B

Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ $\frac{1}{4}$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$B = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: M = A.B = $\frac{{\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x - 1}}.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: $M = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 3}}$.

Nhận thấy với x ≥ 0 thì $\sqrt x + 1 \ge 1$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4$.

Do đó, $1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 1 + 4$ hay M ≤ $5$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = 5 khi x = 0.

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, ta có:

$B = \left( {\frac{{3\sqrt x + 6}}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{x - 9}}{{\sqrt x - 3}}$

$B = \left[ {\frac{{\left( {3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{3\sqrt x + 6 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{x + 5\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$.

Ta có: M = A.B = $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{1}{{\sqrt x + 3}}$.

Vì x ≥ 0 nên $\sqrt x \ge 0$ suy ra $\sqrt x + 3 \ge 3$. Do đó $\frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = $\frac{1}{3}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: B

Với x > 0 và x ≠ 4, ta có:

$Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{5\sqrt x - 2}}{{4 - x}}$

$Q = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$Q = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$Q = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

Ta có: $\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}$.

Do x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}$ suy ra x = 3 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của $\frac{P}{Q}$ bằng $2\sqrt 3$ khi x = 3.

a) A = x – 2$\sqrt x$ = x – 2$\sqrt x$ + 1 – 1 = ($\sqrt x$ − 1)$^{2}$ – 1.

Nhận thấy ($\sqrt x$ − 1)$^{2}$ ≥ 0 với x ≥ 0.

Suy ra ($\sqrt x$ − 1)$^{2}$ – 1 ≥ −1 với x ≥ 0 hay A ≥ −1 với x ≥ 0.

Vậy GTNN của A = −1 khi x = 1.

b) C = $\frac{{2\sqrt x - 9}}{{\sqrt x + 1}}$

Điều kiện: x ≥ 0.

Với x ≥ 0, ta có: $\frac{{2\sqrt x - 9}}{{\sqrt x + 1}} \ge \frac{{2\sqrt 0 - 9}}{{\sqrt 0 + 1}} = - 9$.

Vậy GTNN của C = −9 khi x = 0.

c) $D = \frac{{x + 4\sqrt x + 12}}{{\sqrt x + 3}}$

Điều kiện: x ≥ 0.

Với x ≥ 0, ta có: $\frac{{x + 4\sqrt x + 12}}{{\sqrt x + 3}} \ge \frac{{0 + 4.0 + 12}}{{0 + 3}} = 4$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTNN của D = 4 khi x = 0.

a) $A = \frac{3}{{2\sqrt x + 5}}$.

Điều kiện: x ≥ 0.

Với x ≥ 0 thì $\sqrt x$ ≥ 0 suy ra $2\sqrt x \ge 0$.

Do đó $2\sqrt x + 5 \ge 5$, suy ra $\frac{3}{{2\sqrt x + 5}} \le \frac{3}{5}$ hay A ≤ $\frac{3}{5}$.

Vậy GTLN của A = $\frac{3}{5}$ khi x = 0.

b) $B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}$

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}$.

Nhận thấy với x ≥ 0 thì $\sqrt x + 3 \ge 3$ suy ra $\frac{2}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{2}{3}$.

Do đó, $1 + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} \le 1 + \frac{2}{3}$ hay B ≤ $\frac{5}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của B = $\frac{5}{3}$ khi x = 0.

c) $D = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}$.

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}\sqrt x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$ với x ≥ 0.

Suy ra $\frac{1}{{x - \sqrt x + 1}} \le \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x - \frac{1}{2} = 0$ hay x = $\frac{1}{4}$.

Vậy GTLN của D = $\frac{4}{3}$ khi x = $\frac{1}{4}$.