12 bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng (có lời giải)

Ta có $\overrightarrow {AD} \; = \overrightarrow {A'D'}$, suy ra $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {DAB} = {90^ \circ }$.

Ta có $\overrightarrow {A'C'} \; = \overrightarrow {AC}$, suy ra $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {CAB} = {45^ \circ }$

Vì $A{A^\prime }//C{C^\prime }$ và $A{A^\prime } = C{C^\prime }$ nên $A{A^\prime }{C^\prime }C$ là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$.

Vì AA'B'B là hình vuông nên $\overrightarrow {{A^\prime }A} = \overrightarrow {{B^\prime }B}$.

Do đó $(\overrightarrow{{A}^{'}A},\overrightarrow{C{B}^{'}})=(\overrightarrow{{B}^{'}B},\overrightarrow{C{B}^{'}})={180}^{^{\circ}}-B{B}^{'}C={180}^{^{\circ}}-{45}^{^{\circ}}={135}^{^{\circ}}$

(Vì $B{B^\prime }{C^\prime }C$ là hình vuông nên ${B^\prime }C$ là phân giác của $B{B^\prime }{C^\prime }$ ).

a) Vì $\overrightarrow {AB} = \vec u,\overrightarrow {AC} = \vec v$ nên $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=BAC={60}^{^{\circ}}$

b) $|\vec u| = 2,|\vec v| = 3$ nên $|\overrightarrow {AB} | = 2,|\overrightarrow {AC} | = 3$.

Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2.3\cdot \cos {60}^{^{\circ}}$

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=AB\cdot AC\cdot \cos BAC=a\cdot a\cdot \cos {60}^{^{\circ}}=\frac{{a}^{2}}{2}\text{.}$

Tương tự ta cūng có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Ta lại có $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} )$, suy ra:

$$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}$$

b) Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD}$

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên $\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {CD}$.

Suy ra $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$.

Từ các kết quả trên ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$. Suy ra $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})={90}^{^{\circ}}$

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}$.

Do đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}})=(\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}},\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}})={B}^{'}{A}^{'}{C}^{'}={45}^{^{\circ}}$ (do ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông nên ${A^\prime }{C^\prime }$ là̀ phân giác của góc $\left. {{D^\prime }{A^\prime }{B^{\prime \prime }}} \right)$.

Ví ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông cạnh bẳng 1 nên ${A^\prime }{C^\prime } = \sqrt 2$.

Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}|\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}})=1\cdot \sqrt{2}\cdot \cos {45}^{^{\circ}}=1$

Vì ${\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{A^\prime }}$.

Do đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C{C}^{'}})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{A}^{'}})=BA{A}^{'}={90}^{^{\circ}}$

Do đó $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{C^\prime }}$. Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {C{C^\prime }} = 0$.

b) $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) = CA{C^\prime }$.

Ta có $A{C^\prime }$ là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên $A{C^\prime } = \sqrt 3$.

${\rm{AC}}$ là đường chéo của hình vuông ${\rm{ABCD}}$ cạnh bằng 1 nên $AC = \sqrt 2$.

Xét ${\rm{DACC}}$ có $\cos CA{C}^{'}=\frac{A{C}^{2}+A{C}^{2}-C{C}^{2}}{2\cdot AC\cdot A{C}^{'}}=\frac{2+3-1}{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow CA{C}^{'}\approx {35}^{^{\circ}}{16}^{'}$

Vậy $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{'}})\approx {35}^{^{\circ}}{16}^{'}$