12 bài tập Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt có lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{35}} + \frac{{x + 3}}{{33}} \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + \frac{{x + 7}}{{29}}$

Suy ra $\frac{{x + 1}}{{35}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{33}} + 1 \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + 1 + \frac{{x + 7}}{{29}} + 1$

$\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} \ge \frac{{x + 36}}{{31}} + \frac{{x + 36}}{{29}}$

$\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} - \frac{{x + 36}}{{31}} - \frac{{x + 36}}{{29}} \ge 0$

(x + 36) $\left( {\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}} \right)$ ≥ 0.

Nhận thấy $\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}$ < 0.

Nên x + 36 ≤ 0 hay x ≤ −36.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ≤ −36.

Vậy a = −36.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x + 6}}{{1999}} + \frac{{x + 8}}{{1997}} \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + \frac{{x + 12}}{{1993}}$

Suy ra $\frac{{x + 6}}{{1999}} + 1 + \frac{{x + 8}}{{1997}} + 1 \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + 1 + \frac{{x + 12}}{{1993}} + 1$

$\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} \ge \frac{{x + 2005}}{{1995}} + \frac{{x + 2005}}{{1993}}$

$\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} - \frac{{x + 2005}}{{1995}} - \frac{{x + 2005}}{{1993}} \ge 0$

(x + 2005) $\left( {\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}} \right)$ ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x + 2005 ≤ 0 hay x ≤ −2005.

Do đó, nghiệm nguyên của bất phương trình là x ≤ −2005.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −2005.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 10}}{{1994}} + \frac{{x - 8}}{{1996}} + \frac{{x - 6}}{{1998}} > \frac{{x - 1998}}{6} + \frac{{x - 1996}}{8} + \frac{{x - 1994}}{{10}}$

Có $\frac{{x - 10}}{{1994}} - 1 + \frac{{x - 8}}{{1996}} - 1 + \frac{{x - 6}}{{1998}} - 1 > \frac{{x - 1998}}{6} - 1 + \frac{{x - 1996}}{8} - 1 + \frac{{x - 1994}}{{10}} - 1$

$\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} > \frac{{x - 2004}}{6} + \frac{{x - 2004}}{8} + \frac{{x - 2004}}{{10}}$

$\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} - \frac{{x - 2004}}{6} - \frac{{x - 2004}}{8} - \frac{{x - 2004}}{{10}} > 0$

(x – 2004)$\left( {\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2004 < 0 hay x < 2004.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2004.

Vậy a = 2004.

Do đó, giá trị biểu thức T = a – 902 = 2004 – 904 = 1100.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 1009}}{{1001}} + \frac{{x - 4}}{{1003}} + \frac{{x + 2010}}{{1005}} \ge 7$

$\frac{{x - 1009}}{{1001}} - 1 + \frac{{x - 4}}{{1003}} - 2 + \frac{{x + 2010}}{{1005}} - 4 \ge 7 - 1 - 2 - 4$

$\frac{{x - 1009 - 1001}}{{1001}} + \frac{{x - 4 - 2.1003}}{{1003}} + \frac{{x + 2010 - 4.1005}}{{1005}} \ge 0$

$\frac{{x - 2010}}{{1001}} + \frac{{x - 2010}}{{1003}} + \frac{{x - 2010}}{{1005}} \ge 0$

(x – 2010) $\left( {\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}} \right)$ ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

x – 2010 ≥ 0 hay x ≥ 2010.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2010.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 2010.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x - 85}}{{15}} + \frac{{x - 74}}{{13}} + \frac{{x - 67}}{{11}} \le 6$

Suy ra $\frac{{x - 85}}{{15}} - 1 + \frac{{x - 74}}{{13}} - 2 + \frac{{x - 67}}{{11}} - 2 \le 6 - 1 - 2 - 3$

$\frac{{x - 100}}{{15}} + \frac{{x - 100}}{{13}} + \frac{{x - 100}}{{11}} \le 0$

(x – 100)$\left( {\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}} \right) \le 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}$ > 0 nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì x – 100 ≤ 0 hay x ≤ 100.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 100.

Suy ra a = 100 và có $\sqrt {100} = 10$.

Vậy căn bậc hai số học của a là 10.