12 bài tập Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt có lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{35}} + \frac{{x + 3}}{{33}} \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + \frac{{x + 7}}{{29}}$

Suy ra $\frac{{x + 1}}{{35}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{33}} + 1 \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + 1 + \frac{{x + 7}}{{29}} + 1$

$\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} \ge \frac{{x + 36}}{{31}} + \frac{{x + 36}}{{29}}$

$\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} - \frac{{x + 36}}{{31}} - \frac{{x + 36}}{{29}} \ge 0$

(x + 36) $\left( {\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}} \right)$ ≥ 0.

Nhận thấy $\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}$ < 0.

Nên x + 36 ≤ 0 hay x ≤ −36.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ≤ −36.

Vậy a = −36.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x + 6}}{{1999}} + \frac{{x + 8}}{{1997}} \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + \frac{{x + 12}}{{1993}}$

Suy ra $\frac{{x + 6}}{{1999}} + 1 + \frac{{x + 8}}{{1997}} + 1 \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + 1 + \frac{{x + 12}}{{1993}} + 1$

$\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} \ge \frac{{x + 2005}}{{1995}} + \frac{{x + 2005}}{{1993}}$

$\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} - \frac{{x + 2005}}{{1995}} - \frac{{x + 2005}}{{1993}} \ge 0$

(x + 2005) $\left( {\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}} \right)$ ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x + 2005 ≤ 0 hay x ≤ −2005.

Do đó, nghiệm nguyên của bất phương trình là x ≤ −2005.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −2005.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 10}}{{1994}} + \frac{{x - 8}}{{1996}} + \frac{{x - 6}}{{1998}} > \frac{{x - 1998}}{6} + \frac{{x - 1996}}{8} + \frac{{x - 1994}}{{10}}$

Có $\frac{{x - 10}}{{1994}} - 1 + \frac{{x - 8}}{{1996}} - 1 + \frac{{x - 6}}{{1998}} - 1 > \frac{{x - 1998}}{6} - 1 + \frac{{x - 1996}}{8} - 1 + \frac{{x - 1994}}{{10}} - 1$

$\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} > \frac{{x - 2004}}{6} + \frac{{x - 2004}}{8} + \frac{{x - 2004}}{{10}}$

$\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} - \frac{{x - 2004}}{6} - \frac{{x - 2004}}{8} - \frac{{x - 2004}}{{10}} > 0$

(x – 2004)$\left( {\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2004 < 0 hay x < 2004.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2004.

Vậy a = 2004.

Do đó, giá trị biểu thức T = a – 902 = 2004 – 904 = 1100.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 1009}}{{1001}} + \frac{{x - 4}}{{1003}} + \frac{{x + 2010}}{{1005}} \ge 7$

$\frac{{x - 1009}}{{1001}} - 1 + \frac{{x - 4}}{{1003}} - 2 + \frac{{x + 2010}}{{1005}} - 4 \ge 7 - 1 - 2 - 4$

$\frac{{x - 1009 - 1001}}{{1001}} + \frac{{x - 4 - 2.1003}}{{1003}} + \frac{{x + 2010 - 4.1005}}{{1005}} \ge 0$

$\frac{{x - 2010}}{{1001}} + \frac{{x - 2010}}{{1003}} + \frac{{x - 2010}}{{1005}} \ge 0$

(x – 2010) $\left( {\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}} \right)$ ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

x – 2010 ≥ 0 hay x ≥ 2010.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2010.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 2010.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x - 85}}{{15}} + \frac{{x - 74}}{{13}} + \frac{{x - 67}}{{11}} \le 6$

Suy ra $\frac{{x - 85}}{{15}} - 1 + \frac{{x - 74}}{{13}} - 2 + \frac{{x - 67}}{{11}} - 2 \le 6 - 1 - 2 - 3$

$\frac{{x - 100}}{{15}} + \frac{{x - 100}}{{13}} + \frac{{x - 100}}{{11}} \le 0$

(x – 100)$\left( {\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}} \right) \le 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}$ > 0 nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì x – 100 ≤ 0 hay x ≤ 100.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 100.

Suy ra a = 100 và có $\sqrt {100} = 10$.

Vậy căn bậc hai số học của a là 10.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{{x - 1}}{{13}} - \frac{{2x - 13}}{{15}} < \frac{{3x - 15}}{{27}} - \frac{{4x - 27}}{{29}}$

Suy ra $\frac{{x - 1}}{{13}} - 1 - \frac{{2x - 13}}{{15}} - 1 < \frac{{3x - 15}}{{27}} - 1 - \frac{{4x - 27}}{{29}} - 1$

$\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2x - 28}}{{15}} < \frac{{3x - 42}}{{27}} - \frac{{4x - 56}}{{29}}$

$\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2x - 28}}{{15}} - \frac{{3x - 42}}{{27}} + \frac{{4x - 56}}{{29}} < 0$

$\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2\left( {x - 14} \right)}}{{15}} - \frac{{3\left( {x - 14} \right)}}{{27}} + \frac{{4\left( {x - 14} \right)}}{{29}} < 0$

(x – 14)$\left( {\frac{1}{{13}} - \frac{2}{{15}} - \frac{3}{{27}} + \frac{4}{{29}}} \right)$ < 0.

Nhận thấy $\frac{1}{{13}} - \frac{2}{{15}} - \frac{3}{{27}} + \frac{4}{{29}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 14 > 0 hay x > 14.</>

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x > 14.

Suy ra a = 14 nên a$^{2}$ = 14$^{2}$ = 196.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{{x - 3}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2012}} \le \frac{{x - 2012}}{2} + \frac{{x - 2011}}{3}$

Suy ra $\frac{{x - 3}}{{2011}} - 1 + \frac{{x - 2}}{{2012}} - 1 \le \frac{{x - 2012}}{2} - 1 + \frac{{x - 2011}}{3} - 1$

$\frac{{x - 2014}}{{2011}} + \frac{{x - 2014}}{{2012}} \le \frac{{x - 2014}}{2} + \frac{{x - 2014}}{3}$

$\frac{{x - 2014}}{{2011}} + \frac{{x - 2014}}{{2012}} - \frac{{x - 2014}}{2} - \frac{{x - 2014}}{3} \le 0$

(x – 2014) $\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) \le 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

x – 2014 ≥ 0 và x ≥ 2014.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2014.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} > - 4$

Nên $\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 4 > 0$

Ta có: $\frac{{1909 - x}}{{91}} + 1 + \frac{{1907 - x}}{{93}} + 1 + \frac{{1905 - x}}{{95}} + 1 + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 1 > 0$

$\frac{{2000 - x}}{{91}} + \frac{{2000 - x}}{{93}} + \frac{{2000 - x}}{{95}} + \frac{{2000 - x}}{{97}} > 0$

(2000 – x) $\left( {\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

2000 – x > 0 hay x < 2000.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2000.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{21 - x}}{{1978}} - \frac{{x - 1978}}{{21}} + \frac{{19 - x}}{{1980}} - \frac{{x - 1980}}{{19}} \ge 0$

Suy ra $\frac{{21 - x}}{{1978}} + 1 - \frac{{x - 1978}}{{21}} - 1 + \frac{{19 - x}}{{1980}} + 1 - \frac{{x - 1980}}{{19}} - 1 \ge 0$

$\frac{{1999 - x}}{{1978}} - \frac{{x - 1999}}{{21}} + \frac{{1999 - x}}{{1980}} - \frac{{x - 1999}}{{19}} \ge 0$

(x – 1999) $\left( { - \frac{1}{{1978}} - \frac{1}{{21}} - \frac{1}{{1980}} - \frac{1}{{19}}} \right)$ ≥ 0.

Nhận thấy $- \frac{1}{{1978}} - \frac{1}{{21}} - \frac{1}{{1980}} - \frac{1}{{19}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 1999 ≤ 0 hay x ≤ 1999.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 1999.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 1995}}{5} - \frac{{x - 5}}{{1995}} + \frac{{x - 1997}}{3} - \frac{{x - 3}}{{1997}} + \frac{{x - 1999}}{1} - \frac{{x - 1}}{{1999}} < 0$

Suy ra $\frac{{x - 1995}}{5} + \frac{{5 - x}}{{1995}} + \frac{{x - 1997}}{3} + \frac{{3 - x}}{{1997}} + \frac{{x - 1999}}{1} + \frac{{1 - x}}{{1999}} < 0$

$\frac{{x - 1995}}{5} - 1 + \frac{{5 - x}}{{1995}} + 1 + \frac{{x - 1997}}{3} - 1 + \frac{{3 - x}}{{1997}} + 1 + \frac{{x - 1999}}{1} - 1 + \frac{{1 - x}}{{1999}} + 1 < 0$

$\frac{{x - 2000}}{5} + \frac{{2000 - x}}{{1995}} + \frac{{x - 2000}}{3} + \frac{{2000 - x}}{{1997}} + \frac{{x - 2000}}{1} + \frac{{2000 - x}}{{1999}} < 0$

$\frac{{x - 2000}}{5} - \frac{{x - 2000}}{{1995}} + \frac{{x - 2000}}{3} - \frac{{x - 2000}}{{1997}} + \frac{{x - 2000}}{1} - \frac{{x - 2000}}{{1999}} < 0$

(x – 2000) $\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{1995}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{1997}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{{1999}}} \right) < 0$

Nhận thấy $\frac{1}{5} - \frac{1}{{1995}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{1997}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{{1999}}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì a – 2000 < 0 hay x < 2000.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2000.

Ta có: $\frac{{x + 2}}{6} + \frac{{x + 5}}{3} > \frac{{x + 3}}{5} + \frac{{x + 6}}{2}$

Suy ra $\frac{{x + 2}}{6} + 1 + \frac{{x + 5}}{3} + 1 > \frac{{x + 3}}{5} + 1 + \frac{{x + 6}}{2} + 1$

$\frac{{x + 8}}{6} + \frac{{x + 8}}{3} > \frac{{x + 8}}{5} + \frac{{x + 8}}{2}$

$\frac{{x + 8}}{6} + \frac{{x + 8}}{3} - \frac{{x + 8}}{5} - \frac{{x + 8}}{2} > 0$

(x + 8)$\left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2}} \right)$ > 0

Nhận thấy $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{5} < 0$.

Do đó để thỏa mãn bất phương trình thì x + 8 < 0 hay x < −8.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < −8.

Ta có: $\frac{{x - 2}}{{1007}} + \frac{{x - 1}}{{1008}} < \frac{{2x - 1}}{{2017}} + \frac{{2x - 3}}{{2015}}$

$\frac{{x - 2}}{{1007}} - 1 + \frac{{x - 1}}{{1008}} - 1 < \frac{{2x - 1}}{{2017}} - 1 + \frac{{2x - 3}}{{2015}} - 1$

$\frac{{x - 1009}}{{1007}} + \frac{{x - 1009}}{{1008}} < \frac{{2x - 2018}}{{2017}} + \frac{{2x - 2018}}{{2015}}$

$\frac{{x - 1009}}{{1007}} + \frac{{x - 1009}}{{1008}} - \frac{{2x - 2018}}{{2017}} - \frac{{2x - 2018}}{{2015}} < 0$

(x – 1009) $\left( {\frac{1}{{1007}} + \frac{1}{{1008}} - \frac{2}{{2017}} - \frac{2}{{2018}}} \right)$ < 0.

Nhận thấy $\frac{1}{{1007}} + \frac{1}{{1008}} - \frac{2}{{2017}} - \frac{2}{{2018}}$ > 0 .

Nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 1009 < 0 hay x < 1009.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 1009.