10 Bài tập Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Gọi P là trung điểm của BC.

Vì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AP vuông góc với BC

DP vuông góc với BC

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PA})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{PA}=0$ .

Vậy BC vuông góc với AD

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\begin{matrix}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB} \\ =SA.SC.\cos \widehat{ASC}-SA.SB.\cos \widehat{ASB} \\ =0\end{matrix}$

Vậy SA vuông góc với BC.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\overrightarrow{A{A}_{1}}.\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B{B}_{1}}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$(sử dụng các vectơ bằng nhau và tính chất hình bình hành)

$=\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BC}=0$

Vậy góc giữa AA$_{1}$ và B$_{1}$D$_{1}$ bằng $90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: D

Theo lí thuyết ta có: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ ,$\overrightarrow{ND}=k\overrightarrow{NB}$ , suy ra $\frac{MB}{MA}=\frac{NB}{ND}=-\frac{1}{k}$ .

Từ đó suy ra MN // AD (định lí Thalès đảo trong tam giác ABD). (1)

Gọi I là trung điểm của BC, thì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AI vuông góc với BC

DI vuông góc với BC

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IA})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IA}=0$

Do đó, BC vuông góc với AD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC và MN vuông góc với nhau.