10 Bài tập Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Gọi P là trung điểm của BC.

Vì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AP vuông góc với BC

DP vuông góc với BC

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PA})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{PA}=0$ .

Vậy BC vuông góc với AD

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\begin{matrix}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB} \\ =SA.SC.\cos \widehat{ASC}-SA.SB.\cos \widehat{ASB} \\ =0\end{matrix}$

Vậy SA vuông góc với BC.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\overrightarrow{A{A}_{1}}.\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B{B}_{1}}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$(sử dụng các vectơ bằng nhau và tính chất hình bình hành)

$=\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BC}=0$

Vậy góc giữa AA$_{1}$ và B$_{1}$D$_{1}$ bằng $90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: D

Theo lí thuyết ta có: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ ,$\overrightarrow{ND}=k\overrightarrow{NB}$ , suy ra $\frac{MB}{MA}=\frac{NB}{ND}=-\frac{1}{k}$ .

Từ đó suy ra MN // AD (định lí Thalès đảo trong tam giác ABD). (1)

Gọi I là trung điểm của BC, thì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AI vuông góc với BC

DI vuông góc với BC

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IA})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IA}=0$

Do đó, BC vuông góc với AD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC và MN vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: C

Đặt AB = AD = AC = a.

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=AB.AD.\cos 60^{\circ}-AB.AC.\cos 60^{\circ}=a.a.\frac{1}{2}-a.a.\frac{1}{2}=0$

Do đó, AB vuông góc với CD.

Dễ thấy MN, PQ lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC và ABD.

Khi đó, MN // PQ // AB và MN = PQ = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{a}{2}$nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có:

MN // AB

NP // CD (do NP là đường trung bình của tam giác BCD)

AB ⊥ CD

Khi đó, MN ⊥ NP.

Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: C

Ta có: AC = $a\sqrt{2}$

⇒ AC$^{2}$ = 2a$^{2}$ = SA$^{2}$ + SC$^{2}$

Do đó tam giác SAC vuông tại S.

Khi đó: $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{SC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{NM},\overrightarrow{SC})=90^{\circ}$

Do đó, MN vuông góc với SC hay $(NM,SC)=90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD

Do đó: $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})$

Tam giác ABC có AB = AC và $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ nên tam giác ABC đều

Do đó, CI vuông góc với AB (1).

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI vuông góc với AB (2).

Từ (1) và (2) có:

$\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB}=0$.

Do đó, IJ vuông góc với AB.

Đáp án đúng là: B

Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.

Đáp án đúng là: B

Hướng giải trên là đúng.