10 Bài tập Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Vì DABC đều nên AM ^ BC và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AM ^ BC nên BC ^ (SAM) ⇒ BC ^ AH.

Lại có AH ^ SM do đó AH ^ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH.

Xét DSAM vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^{2}}=\frac{1}{A{S}^{2}}+\frac{1}{A{M}^{2}}=\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{4}{3{a}^{2}}=\frac{19}{12{a}^{2}}\Rightarrow AH=\frac{2a\sqrt{57}}{19}.$

Đáp án đúng là: A

Dựng SH ^ AB. Do (SAB) ^ (ABCD) và (SAB) Ç (ABCD) = AB nên SH ^ (ABCD).

Dựng CK ^ AB.

Vì SH ^ (ABCD) ⇒ SH ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).

Do CD // AB nên d(D, (SAB)) = d(C, (SAB)) = CK.

Xét DCKB vuông tại K, có CK = BC.sin60° = $a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.

Vì DBCD, DACD đều nên BM ^ CD, AM ^ CD.

Do đó CD ^ (ABM) ⇒ CD ^ AH.

Vì AH ^ BM và AH ^ CD nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Mà ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm của DBCD.

Vì DBCD, DACD đều cạnh a nên $BM=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $HM=\frac{1}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Xét DAHM vuông tại H, có $AH=\sqrt{A{M}^{2}-H{M}^{2}}=\sqrt{\frac{3{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{12}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Đáp án đúng là: A

Kẻ AK ^ BC (K Î BC) và AH ^ DK (H Î DK)

Vì AD ^ AB, AD ^ AC nên AD ^ (ABC) ⇒ AD ^ BC.

Mà AK ^ BC. Do đó BC ^ (ADK) ⇒ BC ^ AH mà AH ^ DK nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Xét DABC vuông tại A có: $\frac{1}{A{K}^{2}}=\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{A{C}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}.$

Xét DADK vuông tại A có: $\frac{1}{A{H}^{2}}=\frac{1}{A{K}^{2}}+\frac{1}{A{D}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}.$

Vậy $d(A,(BCD))=AH=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}}}.$

Đáp án đúng là: B

Xét DABC vuông tại A, có $BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=3a\sqrt{2}\Rightarrow BH=a\sqrt{2}$ .

Xét DB'HB vuông tại H, có ${B}^{'}H=\sqrt{B{{B}^{'}}^{2}-B{H}^{2}}=\sqrt{4{a}^{2}-2{a}^{2}}=a\sqrt{2}$ .

Kẻ HE ^ AC tại E, HF ^ B'E tại F.

Vì B'H ^ (ABC) ⇒ B'H ^ AC mà AC ^ HE nên AC ^ (B'HE) ⇒ AC ^ HF.

Mà HF ^ B'E nên HF ^ (B'AC).

Do đó d(H, (B'AC)) = HF.

Có HE // AB (vì cùng vuông góc với AC) nên $\frac{HE}{AB}=\frac{CH}{CB}=\frac{2}{3}\Rightarrow HE=2a$ .

Xét DB'HE vuông tại H, có $\frac{1}{H{F}^{2}}=\frac{1}{{B}^{'}{H}^{2}}+\frac{1}{H{E}^{2}}=\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{1}{4{a}^{2}}=\frac{3}{4{a}^{2}}\Rightarrow HF=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ .

Mặt khác $\frac{d(B,({B}^{'}AC))}{d(H,({B}^{'}AC))}=\frac{BC}{HC}=\frac{3}{2}.$ Do đó $d(B,({B}^{'}AC))=\frac{3}{2}.HF=a\sqrt{3}.$