10 Bài tập Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Vì DABC đều nên AM ^ BC và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AM ^ BC nên BC ^ (SAM) ⇒ BC ^ AH.

Lại có AH ^ SM do đó AH ^ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH.

Xét DSAM vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^{2}}=\frac{1}{A{S}^{2}}+\frac{1}{A{M}^{2}}=\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{4}{3{a}^{2}}=\frac{19}{12{a}^{2}}\Rightarrow AH=\frac{2a\sqrt{57}}{19}.$

Đáp án đúng là: A

Dựng SH ^ AB. Do (SAB) ^ (ABCD) và (SAB) Ç (ABCD) = AB nên SH ^ (ABCD).

Dựng CK ^ AB.

Vì SH ^ (ABCD) ⇒ SH ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).

Do CD // AB nên d(D, (SAB)) = d(C, (SAB)) = CK.

Xét DCKB vuông tại K, có CK = BC.sin60° = $a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.

Vì DBCD, DACD đều nên BM ^ CD, AM ^ CD.

Do đó CD ^ (ABM) ⇒ CD ^ AH.

Vì AH ^ BM và AH ^ CD nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Mà ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm của DBCD.

Vì DBCD, DACD đều cạnh a nên $BM=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $HM=\frac{1}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Xét DAHM vuông tại H, có $AH=\sqrt{A{M}^{2}-H{M}^{2}}=\sqrt{\frac{3{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{12}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Đáp án đúng là: A

Kẻ AK ^ BC (K Î BC) và AH ^ DK (H Î DK)

Vì AD ^ AB, AD ^ AC nên AD ^ (ABC) ⇒ AD ^ BC.

Mà AK ^ BC. Do đó BC ^ (ADK) ⇒ BC ^ AH mà AH ^ DK nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Xét DABC vuông tại A có: $\frac{1}{A{K}^{2}}=\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{A{C}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}.$

Xét DADK vuông tại A có: $\frac{1}{A{H}^{2}}=\frac{1}{A{K}^{2}}+\frac{1}{A{D}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}.$

Vậy $d(A,(BCD))=AH=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}}}.$

Đáp án đúng là: B

Xét DABC vuông tại A, có $BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=3a\sqrt{2}\Rightarrow BH=a\sqrt{2}$ .

Xét DB'HB vuông tại H, có ${B}^{'}H=\sqrt{B{{B}^{'}}^{2}-B{H}^{2}}=\sqrt{4{a}^{2}-2{a}^{2}}=a\sqrt{2}$ .

Kẻ HE ^ AC tại E, HF ^ B'E tại F.

Vì B'H ^ (ABC) ⇒ B'H ^ AC mà AC ^ HE nên AC ^ (B'HE) ⇒ AC ^ HF.

Mà HF ^ B'E nên HF ^ (B'AC).

Do đó d(H, (B'AC)) = HF.

Có HE // AB (vì cùng vuông góc với AC) nên $\frac{HE}{AB}=\frac{CH}{CB}=\frac{2}{3}\Rightarrow HE=2a$ .

Xét DB'HE vuông tại H, có $\frac{1}{H{F}^{2}}=\frac{1}{{B}^{'}{H}^{2}}+\frac{1}{H{E}^{2}}=\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{1}{4{a}^{2}}=\frac{3}{4{a}^{2}}\Rightarrow HF=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ .

Mặt khác $\frac{d(B,({B}^{'}AC))}{d(H,({B}^{'}AC))}=\frac{BC}{HC}=\frac{3}{2}.$ Do đó $d(B,({B}^{'}AC))=\frac{3}{2}.HF=a\sqrt{3}.$

Đáp án đúng là: B

Kẻ OH ^ SC ⇒ d(O, SC) = OH.

Xét DABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=a\sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC nên $OA=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét DSAC vuông tại A, có $SC=\sqrt{S{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{4{a}^{2}+2{a}^{2}}=a\sqrt{6}$ .

Vì DCHO đồng dạng với DCAS nên $\frac{OH}{OC}=\frac{SA}{SC}\Rightarrow OH=\frac{OC.SA}{SC}=\frac{a\sqrt{2}.2a}{2a\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Đáp án đúng là: D

Kẻ AH ^ BC tại H .

Có ${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}AH.BC\Rightarrow AH=\frac{2{S}_{ΔABC}}{BC}=\frac{4{a}^{2}}{a}=4a$ .

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC mà AH ^ BC ⇒ BC ^ (SAH) ⇒ BC ^ SH.

Do đó d(S, BC) = SH.

Xét DSAH vuông tại A, có $SH=\sqrt{S{A}^{2}+A{H}^{2}}=\sqrt{9{a}^{2}+16{a}^{2}}=5a$ .

Đáp án đúng là: C

Kẻ CH ^ AM tại H. Khi đó d(C, AM) = CH.

Do DBCD đều cạnh a nên MC là đường cao và $MC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì AC ^ (BCD) nên AC ^ CM.

Xét DACM vuông tại C, ta có $\frac{1}{C{H}^{2}}=\frac{1}{A{C}^{2}}+\frac{1}{C{M}^{2}}=\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{4}{3{a}^{2}}=\frac{11}{6{a}^{2}}\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{66}}{11}$ .

Đáp án đúng là: B

Dựng AH ^ BC tại H ⇒ d(A, BC) = AH.

Vì SA ^ SB và SA ^ SC nên SA ^ (SBC) ⇒ SA ^ BC.

Lại có AH ^ BC nên BC ^ (SAH) ⇒ BC ^ SH.

Xét DSBC vuông tại S, có $\frac{1}{S{H}^{2}}=\frac{1}{S{B}^{2}}+\frac{1}{S{C}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{a}^{2}}=\frac{5}{4{a}^{2}}\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$ .

Vì SA ^ (SBC) nên SA ^ SH.

Xét DASH vuông tại S, có $AH=\sqrt{S{A}^{2}+S{H}^{2}}=\sqrt{9{a}^{2}+\frac{4{a}^{2}}{5}}=\frac{7a\sqrt{5}}{5}$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD).

Do đó hình chiếu của SD trên mặt phẳng (ABCD) là OD. Khi đó $α=\widehat{SDO}$ .

Kẻ OH ^ SD tại H. Khi đó d(O, SD) = OH.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $BD=a\sqrt{2}$mà O là trung điểm của BD nên $OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét DOHD vuông tại H, có OH = OD.sina = $\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sin α$

.