10 bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số chẵn thứ nhất là x (x ∈ ℕ*).

Khi đó, số chẵn thứ hai liền sau là x + 2.

Tổng bình phương của hai số trên là x$^{2}$ + (x + 2)$^{2}$.

Vì tổng bình phương của hai số bằng 244 nên ta có phương trình:

x$^{2}$ + (x + 2)$^{2}$ = 244

x$^{2}$ + x$^{2}$ + 4x + 4 – 244 = 0

2x$^{2}$ + 4x – 240 = 0

x$^{2}$ + 2x – 120 = 0

Phương trình trên có ∆' = 1$^{2}$ – 1.(–120) = 121 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {121} = 11.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 11}}{1} = - 12$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 1 + 11}}{1} = 10$ (thỏa mãn).

Với x = 10, ta có số chẵn thứ nhất là 10 và số chẵn thứ hai là 12.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị là 12 – 3 = 9.

Gọi chữ số hàng trăm của số cần tìm là x (x ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9).

Chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là 9 – x.

Số tự nhiên cần tìm là: $\overline {x3\left( {9 - x} \right)} = 100x + 30 + \left( {9 - x} \right) = 99{\rm{x}} + 39.$

Nếu bỏ chữ số hàng trăm thì ta được số mới là: $\overline {3\left( {9 - x} \right)} .$

Tích của các chữ số của số mới là: 3.(9 – x) = 27 – 3x.

Theo bài, số mới có hai lần bình phương của tích của các chữ số lớn hơn số ban đầu 15 đơn vị, nên ta có phương trình:

2(27 – 3x)$^{2}$ = 99x + 39 + 15

2.(729 – 162x + 9x$^{2}$) = 99x + 54

18x$^{2}$ – 423x + 1404 = 0

2x$^{2}$ – 47x + 156 = 0

Phương trình trên có ∆ = (–47)$^{2}$ – 4.2.156 = 961 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {961} = 31.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệtlà:

${x_1} = \frac{{47 - 31}}{{2 \cdot 2}} = 4$ (thỏa mãn); ${x_2} = \frac{{47 + 31}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{39}}{2}$ (không thỏa mãn).

Với x = 4, ta có số tự nhiên ban đầu là 435.

Vậy thương của số tự nhiên ban đầu với 5 là 435 : 5 = 87.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (x > 0).

Khi đó, độ dài cạnh góc vuông lớn là x + 2 (cm).

Diện tích của tam giác vuông đó là: $\frac{1}{2}x\left( {x + 2} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + x$ (cm$^{2}$).

Vì diện tích của tam giác vuông là 31,5 cm$^{2}$, nên ta có phương trình:

$$\frac{1}{2}{x^2} + x = 31{,}5$$

x$^{2}$ + 2x – 63 = 0.

Phương trình trên có: ∆' = 1$^{2}$ – 1.(–63) = 64 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8.$

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 8}}{1} = - 9$ (loại);

${x_2} = \frac{{ - 1 + 8}}{1} = 7$ (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ là 7 cm.

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là x (m) (x > 0).

Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là $\frac{{720}}{x}$ (m).

Chiều dài của mảnh đất nếu tăng thêm 6 m là: x + 6 (m).

Chiều rộng của mảnh đất nếu giảm đi 4 m là: $\frac{{720}}{x} - 4$ (m).

Diện tích của mảnh đất sau khi thay đổi kích thước là: $\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right)$ (m$^{2}$).

Theo bài, nếu tăng chiều dài 6 m và giảm chiều rộng 4 m thì diện tích của mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

$$\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720$$

Giải phương trình:

$$\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720$$

$720 - 4x + \frac{{4320}}{x} - 24 = 720$

4x$^{2}$ + 24x – 4320 = 0

x$^{2}$ + 6x – 1080 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 3$^{2}$ – 1.(–1080) = 1089 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {1089} = 33.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 3 - 33}}{1} = - 36$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 3 + 33}}{1} = 30$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài mảnh đất là 30 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày) (x > 4).

Thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 6 (ngày).

Trong 1 ngày, đội I làm một mình được $\frac{1}{x}$ (công việc), đội II làm một mình được $\frac{1}{{x + 6}}$ (công việc).

Như vậy, trong 1 ngày, hai đội cùng làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}}$ (công việc).

Theo bài, hai đội cùng làm thì trong 4 ngày xong việc nên trong 1 ngày, hai đội cùng làm được $\frac{1}{4}$ (công việc).

Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}.$

Giải phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}$

$\frac{{x + 6 + x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}$

$\frac{{2x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}$

x(x + 6) = 4.(2x + 6)

x$^{2}$ + 6x – 8x – 24 = 0

x$^{2}$ – 2x – 24 = 0.

Phương trình trên có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(–24) = 25 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5.$

Do đó phương trình trên có:

${x_1} = \frac{{1 - 5}}{1} = - 4$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{1 + 5}}{1} = 6$ (thỏa mãn).

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 6 giờ.