10 bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số chẵn thứ nhất là x (x ∈ ℕ*).

Khi đó, số chẵn thứ hai liền sau là x + 2.

Tổng bình phương của hai số trên là x$^{2}$ + (x + 2)$^{2}$.

Vì tổng bình phương của hai số bằng 244 nên ta có phương trình:

x$^{2}$ + (x + 2)$^{2}$ = 244

x$^{2}$ + x$^{2}$ + 4x + 4 – 244 = 0

2x$^{2}$ + 4x – 240 = 0

x$^{2}$ + 2x – 120 = 0

Phương trình trên có ∆' = 1$^{2}$ – 1.(–120) = 121 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {121} = 11.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 11}}{1} = - 12$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 1 + 11}}{1} = 10$ (thỏa mãn).

Với x = 10, ta có số chẵn thứ nhất là 10 và số chẵn thứ hai là 12.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị là 12 – 3 = 9.

Gọi chữ số hàng trăm của số cần tìm là x (x ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9).

Chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là 9 – x.

Số tự nhiên cần tìm là: $\overline {x3\left( {9 - x} \right)} = 100x + 30 + \left( {9 - x} \right) = 99{\rm{x}} + 39.$

Nếu bỏ chữ số hàng trăm thì ta được số mới là: $\overline {3\left( {9 - x} \right)} .$

Tích của các chữ số của số mới là: 3.(9 – x) = 27 – 3x.

Theo bài, số mới có hai lần bình phương của tích của các chữ số lớn hơn số ban đầu 15 đơn vị, nên ta có phương trình:

2(27 – 3x)$^{2}$ = 99x + 39 + 15

2.(729 – 162x + 9x$^{2}$) = 99x + 54

18x$^{2}$ – 423x + 1404 = 0

2x$^{2}$ – 47x + 156 = 0

Phương trình trên có ∆ = (–47)$^{2}$ – 4.2.156 = 961 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {961} = 31.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệtlà:

${x_1} = \frac{{47 - 31}}{{2 \cdot 2}} = 4$ (thỏa mãn); ${x_2} = \frac{{47 + 31}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{39}}{2}$ (không thỏa mãn).

Với x = 4, ta có số tự nhiên ban đầu là 435.

Vậy thương của số tự nhiên ban đầu với 5 là 435 : 5 = 87.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (x > 0).

Khi đó, độ dài cạnh góc vuông lớn là x + 2 (cm).

Diện tích của tam giác vuông đó là: $\frac{1}{2}x\left( {x + 2} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + x$ (cm$^{2}$).

Vì diện tích của tam giác vuông là 31,5 cm$^{2}$, nên ta có phương trình:

$$\frac{1}{2}{x^2} + x = 31{,}5$$

x$^{2}$ + 2x – 63 = 0.

Phương trình trên có: ∆' = 1$^{2}$ – 1.(–63) = 64 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8.$

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 8}}{1} = - 9$ (loại);

${x_2} = \frac{{ - 1 + 8}}{1} = 7$ (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ là 7 cm.

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là x (m) (x > 0).

Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là $\frac{{720}}{x}$ (m).

Chiều dài của mảnh đất nếu tăng thêm 6 m là: x + 6 (m).

Chiều rộng của mảnh đất nếu giảm đi 4 m là: $\frac{{720}}{x} - 4$ (m).

Diện tích của mảnh đất sau khi thay đổi kích thước là: $\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right)$ (m$^{2}$).

Theo bài, nếu tăng chiều dài 6 m và giảm chiều rộng 4 m thì diện tích của mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

$$\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720$$

Giải phương trình:

$$\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720$$

$720 - 4x + \frac{{4320}}{x} - 24 = 720$

4x$^{2}$ + 24x – 4320 = 0

x$^{2}$ + 6x – 1080 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 3$^{2}$ – 1.(–1080) = 1089 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {1089} = 33.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 3 - 33}}{1} = - 36$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 3 + 33}}{1} = 30$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài mảnh đất là 30 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày) (x > 4).

Thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 6 (ngày).

Trong 1 ngày, đội I làm một mình được $\frac{1}{x}$ (công việc), đội II làm một mình được $\frac{1}{{x + 6}}$ (công việc).

Như vậy, trong 1 ngày, hai đội cùng làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}}$ (công việc).

Theo bài, hai đội cùng làm thì trong 4 ngày xong việc nên trong 1 ngày, hai đội cùng làm được $\frac{1}{4}$ (công việc).

Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}.$

Giải phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}$

$\frac{{x + 6 + x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}$

$\frac{{2x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}$

x(x + 6) = 4.(2x + 6)

x$^{2}$ + 6x – 8x – 24 = 0

x$^{2}$ – 2x – 24 = 0.

Phương trình trên có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(–24) = 25 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5.$

Do đó phương trình trên có:

${x_1} = \frac{{1 - 5}}{1} = - 4$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{1 + 5}}{1} = 6$ (thỏa mãn).

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 6 giờ.

Đáp án đúng là: B

Gọi số đèn lồng nhóm thợ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (đèn) (x > 0).

Theo kế hoạch, nhóm thợ cần làm hết 1200 chiếc đèn trong $\frac{{1200}}{x}$ (ngày).

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch, nhóm thợ làm được 12x (đèn).

Số đèn còn lại sau 12 ngày đó là 1200 – 12x (đèn).

Sau khi có thêm người, mỗi ngày nhóm thợ làm được x + 20 (đèn).

Thời gian làm số đèn còn lại là $\frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}}$ (ngày).

Theo bài, nhóm thợ hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2.$

Giải phương trình:

$\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2$

$$\frac{{1200}}{x} - \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} = 14$$

$$\frac{{1200\left( {x + 20} \right) - x\left( {1200 - 12x} \right)}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14$$

$$\frac{{12{x^2} + 2\,\,4000}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14$$

12x$^{2}$ + 24 000 = 14x(x + 20)

12x$^{2}$ + 24 000 = 14x$^{2}$ + 280x

2x$^{2}$ + 280x – 24 000 = 0

x$^{2}$ + 140x – 12 000 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 70$^{2}$ – 1.(–12 000) = 16 900 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16\,\,900} = 130.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 70 - 130}}{1} = - 200$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 70 + 130}}{1} = 60$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày nhóm thộ phải làm 60 chiếc đèn lồng.

Đáp án đúng là: D

Đổi 20 phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h) (x > 3).

Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + 3 (km/h).

Vận tốc của ca nô lúc ngược dòng là: x – 3 (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là $\frac{{15}}{{x + 3}}$ (giờ).

Thời gian ca nô ngược dòng từ B về A là $\frac{{15}}{{x - 3}}$ (giờ).

Theo bài, thời gian một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, tại bến B nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ nên ta có phương trình:

$$\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} + \frac{1}{3} = 3.$$

Giải phương trình:

$$\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} + \frac{1}{3} = 3$$

$$\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} = \frac{8}{3}$$

$$\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{8}{{45}}$$

$$\frac{{x - 3 + x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{8}{{45}}$$

$$\frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{8}{{45}}$$

8(x$^{2}$ – 9) = 45.2x

4x$^{2}$ – 45x – 36 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–45)$^{2}$ – 4.4.(–36) = 2601 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {2601} = 51.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{45 - 51}}{{2 \cdot 4}} = - 0{,}75$ (không thỏa mãn);

${x_1} = \frac{{45 + 51}}{{2 \cdot 4}} = 12$ (thỏa mãn).

Khi đó, vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h nên vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: 12 + 3 = 15 (km/h).

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) (x > 0).

Khi đó, vận tốc xe ô tô là x + 20 (km/h).

Sau khi hai xe gặp nhau (gọi là điểm C), xe máy đi 1 giờ 30 phút (tức 1,5 giờ) nữa mới đến B nên quãng đường từ C đến B là: 1,5x (km).

Thời gian xe ô tô đi từ lúc khởi hành từ B đến C là: $\frac{{1{,}5x}}{{x + 20}}$ (giờ).

Do đó, quãng đường từ A đến C là: 100 – 1,5x (km), nên thời gian xe máy đi từ lúc khởi hành từ A đến C là: $\frac{{100 - 1{,}5x}}{x}$ (giờ).

Vì hai xe cùng xuất phát và cùng gặp nhau nên ta có phương trình:

$\frac{{100 - 1{,}5x}}{x} = \frac{{1{,}5x}}{{x + 20}}.$

Giải phương trình:

$\frac{{100 - 1{,}5x}}{x} = \frac{{1{,}5x}}{{x + 20}}$

(100 – 1,5x)(x + 20) = x.1,5x

100x + 2 000 – 1,5x$^{2}$ – 30x = 1,5x$^{2}$

3x$^{2}$ – 70x – 2 000 = 0

Phương trình trên có ∆' = (–35)$^{2}$ – 3.(–2 000) = 7225 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {7255} = 85.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{35 - 85}}{3} = - \frac{{50}}{3}$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{35 + 85}}{3} = 40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h; vận tốc của xe ô tô là 40 + 20 = 60 (km/h).

Đáp án đúng là: B

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là x (g/cm$^{3}$) (x > 0).

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là x + 1 (g/cm$^{3}$).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: $\frac{{880}}{{x + 1}}$ (cm$^{3}$).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: $\frac{{858}}{x}$ (cm$^{3}$).

Theo bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm$^{3}$, nên ta có phương trình:

$\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10.$

Giải phương trình:

$\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10$

$$\frac{{858\left( {x + 1} \right) - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10$$

$$\frac{{858x + 858 - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10$$

$$\frac{{858 - 22x}}{{{x^2} + x}} = 10$$

10(x$^{2}$ + x) = 858 – 22x

10x$^{2}$ + 10x = 858 – 22x

10x$^{2}$ + 32x – 858 = 0

5x$^{2}$ + 16x – 429 = 0

Phương trình trên có:

∆' = 8$^{2}$ – 5.(–429) = 2209 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {2209} = 47.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 8 - 47}}{5} = - 11$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 8 + 47}}{5} = 7{,}8$ (thỏa mãn).

Khi đó, khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 g/cm$^{3}$ và khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 7,8 + 1 = 8,8 (g/cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: C

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x (%/năm) (x > 0).

Số tiền lãi bác Ba phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 100.x% = x (triệu đồng).

Số tiền bác Ba phải trả sau 1 năm là 100 + x (triệu đồng).

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác Ba phải trả sau 2 năm là: $\left( {100 + x} \right) \cdot x\% = \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}$ (triệu đồng).

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau 2 năm bác Ba phải trả là: $100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}$ (triệu đồng).

Hết 2 năm, bác Ba phải trả tất cả là 121 triệu đồng nên ta có phương trình:

$$100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121$$

Giải phương trình:

$$100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121$$

10 000 + 100x + 100x + x$^{2}$ = 12 100

x$^{2}$ + 200x – 2 100 = 0

Phương trình trên có ∆' = 100$^{2}$ – 1.(–2 100) = 12 100 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {12\,\,100} = 110.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 100 - 110}}{1} = - 210$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 100 + 110}}{1} = 10$ (thỏa mãn).

Vậy lãi suất của ngân hàng đó là 10%/năm.