Trắc nghiệm Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có đáp án - phần 2)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ lần lượt có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{{n}_{1}}({a}_{1};{b}_{1})$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}({a}_{2};{b}_{2})$

Góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$được xác định bởi:

cos(d$_{1}$; d$_{2}$) = $|\cos (\overrightarrow{{n}_{1}};\overrightarrow{{n}_{2}})|$ = $\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|.|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$ = $\frac{|{a}_{1}{a}_{2}+{b}_{1}{b}_{2}|}{\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}.\sqrt{{{a}_{2}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A đến ∆ được tính bởi công thức: A; ∆) = $\frac{|{\text{ax}}_{0}+b{y}_{0}+c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ song song hoặc trùng nhau thì $\overrightarrow{{u}_{1}}$ cùng phương với $\overrightarrow{{u}_{2}}$ nghĩa là tồn tại ∃k ∈ ℝ thỏa mãn $\overrightarrow{{u}_{1}}=k\overrightarrow{{u}_{2}}$.

Vậy ta chọn C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d$_{1}$ có $\overrightarrow{{u}_{1}}(4;-6)$ và A(−3; 2) ∈ d$_{1}$

Đường thẳng d$_{2}$ có $\overrightarrow{{u}_{2}}(-2;3)$

Ta có: $\overrightarrow{{u}_{1}}$= −2.$\overrightarrow{{u}_{2}}$ nên $\overrightarrow{{u}_{1}}$ và $\overrightarrow{{u}_{2}}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, thay điểm A(−3; 2) vào phương trình đường thẳng d$_{2}$ ta có: $\{\begin{matrix}-3=1-2t' \\ 2=4+3t'\end{matrix}$⇒ $\{\begin{matrix}-3=1-2t' \\ 2=4+3t'\end{matrix}$ ⇔$\{\begin{matrix}t'=2 \\ t'=\frac{-2}{3}\end{matrix}$ (không thoả mãn)

Do đó điểm A thuộc d$_{1}$ nhưng không thuộc d$_{2}$. Vậy d$_{1}$ song song với d$_{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng ∆$_{1}$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{n}_{1}}(7;2)$

Đường thẳng ∆$_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{u}_{2}}(1;-5)$⇒ $\overrightarrow{{n}_{2}}(5;1)$

Ta có : $\frac{7}{5}\ne \frac{2}{1}$ và $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}=7.5+2.1=37\ne 0$

Vậy ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m là:

d(M;m) = $\frac{|4.1+3.2-2|}{\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}}$ = $\frac{8}{5}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m bằng $\frac{8}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ lần lượt là: $\overrightarrow{{n}_{1}}(2;-1)$; $\overrightarrow{{n}_{2}}(1;-3)$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$

Ta có: cos α = $\frac{|2.1+(-1).(-3)|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{(-3)}^{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

⇒ α = 45$^{°}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}7x-3y+16=0 \\ x+10=0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x=-10 \\ y=-18\end{matrix}$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là: (−10; −18).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-2;1)$

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là : $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC

⇒ d(A; BC) = $\frac{|2+2.(-1)+2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là:

d(M; ∆) = $\frac{|3cosα+\text{0.}sinα+\ 3(2\ -\ sinα)|}{\sqrt{{\cos }^{2}α+{\sin }^{2}α}}$ = $\frac{|0.cosα+\text{3.}sinα+\ 3(2\ -\ sinα)|}{\sqrt{{\cos }^{2}α+{\sin }^{2}α}}$

= $\frac{|\text{3}sinα+\ 6\ -\text{3}sinα|}{\sqrt{{\cos }^{2}α+{\sin }^{2}α}}$

=$\frac{6}{\sqrt{{\cos }^{2}α+{\sin }^{2}α}}$=6

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{AB}(1;4)$

Phương trình đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}(1;4)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{{n}_{AB}}$(4; – 1) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\overrightarrow{CD}(-4;-1)$

Phương trình đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{CD}(-4;-1)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{{n}_{CD}}$(1; – 4) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{-1}{-4}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{{n}_{AB}}$ và $\overrightarrow{{n}_{CD}}$ không cùng phương nên hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm.

Ta lại có: $\overrightarrow{{n}_{AB}}.\overrightarrow{{n}_{CD}}$ = 4.1 + (– 1)(– 4) = 8 ≠ 0 nên AB và CD không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{n}_{1}}(6;-5)$

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{u}_{1}}(-6;5)$

⇒ vectơ pháp tuyến của d$_{2}$ là: $\overrightarrow{{n}_{2}}(5;6)$

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}$ = 6.5 + (−5).6 = 0 nên $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ vuông góc với nhau

Hay hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ vuông góc với nhau.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là: 90$^{°}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng m và n lần lượt là : $\overrightarrow{{n}_{1}}(6;-8)$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}(3;-4)$

Ta thấy $\overrightarrow{{n}_{1}}=2\overrightarrow{{n}_{2}}$ nên $\overrightarrow{{n}_{1}};\overrightarrow{{n}_{2}}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó m và n song song hoặc trùng nhau.

Chọn điểm A(2;0) ∈ (n)

Thay điểm A(2; 0) vào phương trình đường thẳng m ta có:6.2 – 8.0 + 3 = 15 ≠ 0

nên A ∉ (m)

Vậy m và n là hai đường thẳng song song

⇒ d(m; n) = d(A; m) = $\frac{|15|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}=\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$

Toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-3y+4=0 \\ 2x+3y-1=0\end{matrix}$

⇒$\{\begin{matrix}x=-1 \\ y=1\end{matrix}$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:

d(A; ∆) = $\frac{|3.(-1)+1+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d là:

R = d(A,d) = $\frac{|3.7-4.4+8|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}=\frac{13}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{BH}}(1;-1)$

Đường cao BH vuông góc với AC nên đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{{n}_{BH}}(1;-1)$làm vectơ chỉ phương hay nhận $\overrightarrow{{n}_{AC}}(1;1)$làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương đường thẳng AC đi qua điểm C(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{n}_{AC}}(1;1)$ là: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0 ⇔ x + y – 1 = 0.

Điểm A là giao điểm của hai đường thẳng AC và AN nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}x+y\ -1\ =\ 0 \\ 2x-y+5\ =\ 0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{-4}{3} \\ y=\frac{7}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow A(\frac{-4}{3};\frac{7}{3})$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ nên toạ độ điểm A thoả mãn:

$\{\begin{matrix}2x+y-1=0 \\ x+2y+1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=-1\end{matrix}$⇒ A(1; –1)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d$_{3}$ cũng đi qua điểm A hay A ∈ d$_{3}$

⇒ m.1 – (–1) – 7 = 0

⇔ m = 6.

Vậy với m = 6 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$

Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng d$_{1}$ là: $\overrightarrow{{n}_{1}}$(3; 4)

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{u}_{2}}(a;-2)$ ⇒ vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{n}_{2}}$(2; a)

Theo giả thiết ta có:

cos α = $\frac{|3.2+4a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}.\sqrt{{2}^{2}+{a}^{2}}}$= cos 45$^{°}$= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\frac{|6+4a|}{5.\sqrt{4+{a}^{2}}}$= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\sqrt{2}.|6+4a|=5.\sqrt{4+{a}^{2}}$

⇒ 8(3 + 2a)$^{2}$ = 25.(a$^{2}$ + 4)

⇔ 8(9 + 12a + 4a$^{2}$) = 25a$^{2}$ + 100

⇔ 32a$^{2}$ + 96a + 72 = 25a$^{2}$ + 100

⇔ 7a$^{2}$ + 96a – 28 = 0

⇒$[\begin{matrix}a=\frac{2}{7} \\ a=-14\end{matrix}$

Vậy với a = $\frac{2}{7}$ hoặc a = −14 thì góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ bằng 45$^{°}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì AC ∩ AB = A nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:

$\{\begin{matrix}3x-y+4=0 \\ x+2y-4=0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{-4}{7} \\ y=\frac{16}{7}\end{matrix}\Rightarrow A(\frac{-4}{7};\frac{16}{7})$

Tương tự ta có: B$(\frac{-10}{11};\frac{14}{11})$ và C (−8; 6)

Ta có: S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.d(A; BC).BC

= $\frac{1}{2}.\frac{|2.\frac{-4}{7}+3.\frac{16}{7}-2|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}.\sqrt{{(-8+\frac{10}{11})}^{2}+{(6-\frac{14}{11})}^{2}}$

= $\frac{1}{2}.\frac{26}{7\sqrt{13}}.\sqrt{{(\frac{-78}{11})}^{2}+{(\frac{52}{11})}^{2}}$

= $\frac{13}{7\sqrt{13}}.\frac{26\sqrt{13}}{11}$ = $\frac{338}{77}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\overrightarrow{BC}=(-2;1)$⇒ BC = $\sqrt{{(-2)}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AB}=(0;-1)$⇒ AB = $\sqrt{{0}^{2}+{(-1)}^{2}}=1$;

$\overrightarrow{AC}=(-2;0)$⇒ AC = $\sqrt{{(-2)}^{2}+{0}^{2}}=2$.

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Khi đó phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

⇒ d(A; BC) = $\frac{|2+2.(-1)+2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$= $\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇒ S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.d(A; BC) . BC = $\frac{1}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}$= 1 (đvdt)

Mặt khác, ta có: S$_{ABC}$ = p.r

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

r = $\frac{{S}_{ABC}}{p}$= $\frac{1}{(\frac{1+2+\sqrt{5}}{2})}$ = $\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$