Trắc nghiệm Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách lớp 10 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}3x - 6y + 3 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$-7 = 0 (vô lý)

Suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm

Vì vậy hai đường thẳng song song.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x - 2y - 6 = 0\\{d_2}:6x - 2y - 8 = 0\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 6 = 0\\6x - 2y - 8 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 6\\3x = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = - 2\end{array} \right.$

Suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm.

Ta lại có: d$_{1}$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}$ = (3; -2) và d$_{2}$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}}$= (6; -2).

$\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}$ = 3.6 + (-3).(-2) = 18 + 6 = 24 ≠ 0. Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ không vuông góc.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1\\{d_2}:3x + 4y - 10 = 0\end{array} \right.$

Phương trình ${d_1}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{4}} \right)$

Phương trình ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {3;4} \right)$

Nhận thấy ${\vec n_1} \cdot {\vec n_2}$ = $\frac{1}{3}$.3 + $\left( { - \frac{1}{4}} \right)$.4 = 0. Như vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau, suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau

Đáp án đúng là: A

Ta có:

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 2 - 2t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + 4t'\end{array} \right.$.

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 + t = 2 - 2t'\\ - 2 - 2t = - 8 + 4t'\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 3\\ - 2t - 4t' = - 6\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow t + 2t' = 3$ như vậy phương trình có vô số nghiệm, suy ra hai đường thẳng trùng nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.$$

$${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + 2t'\end{array} \right.$$

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 4t = 2 - 2t'\\2 - 4t = - 8 + 2t'\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t + 2t' = 5\\ - 4t - 2t' = - 10\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$0 = -5 (Vô lý), hệ vô nghiệm, suy ra hai đường thẳng song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x - y - 10 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {2; - 1} \right)\\{d_2}:x - 3y + 9 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {1; - 3} \right)\end{array} \right.$ ${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng

$\cos \varphi = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$\to \varphi = {45^ \circ }.$

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:7x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {7; - 3} \right)\\{d_2}:2x - 5y - 4 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {2; - 5} \right)\end{array} \right.$ ${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \varphi = \frac{{\left| {14 + 15} \right|}}{{\sqrt {49 + 9} .\sqrt {4 + 25} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$\Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{4}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 5 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\\{d_2}:y - 6 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {0;1} \right)\end{array} \right.$${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \varphi = \frac{{\left| {\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {0 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {30^ \circ }.$

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x + \sqrt 3 y = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\\{d_2}:x + 10 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {1;0} \right)\end{array} \right.$${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \varphi = \frac{{\left| {1 + 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {1 + 0} }} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \varphi = {60^ \circ }.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right.$ ${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Nhận thấy ${\vec n_1} \cdot {\vec n_2}$ = 6.5 + 6.(-5) = 0 suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau nên $\varphi = {90^ \circ }.$

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là: $d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:

$d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) - 4.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{{10}}{5} =$2.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 2.

Đáp án đúng là: C

+) Giao điểm của hai đường thẳng:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.$, vậy điểm A (-1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng

+) Khoảng cách từ A đến $\Delta$: 3x + y + 4 = 0:

$d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) + 1.1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

Vậy khoảng cách giữa giao điểm của hai đường thẳng đến đường thẳng ∆ là $\frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

Đáp án đúng là: A

+) Viết phương trình đường thẳng qua B, C

Ta có: B (0; 3); C (4; 0)$\Rightarrow$$\overrightarrow {BC}$= (4; -3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow n$(3; 4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow n \bot \overrightarrow {BC}$), suy ra phương trình đường thẳng BC có phương trình: 3.(x – 0) + 4.(y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0

+) Độ dài đường cao kẻ từ A

Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

$${h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.2 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{1}{5}.$$

Đáp án đúng là: B

+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC

- Ta có: B(1; 5); C(3; 1)$\Rightarrow$$\overrightarrow {BC}$= (2; -4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow n$= (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow n \bot \overrightarrow {BC}$), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay

2x + y – 7 = 0

- Độ dài BC: BC = $\sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {20}$$= 2\sqrt 5$.

+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:

${h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.( - 4) - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5$.

+) Diện tích tam giác ABC:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{h_A}.BC$ = $\frac{1}{2}.\sqrt 5 .2\sqrt 5$ = 5.