Trắc nghiệm Vectơ trong không gian lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng: C

Vì AB // CD nên hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng phương.

Đáp án đúng: B

Có BA = CD và $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$.

Đáp án đúng: C

$\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {BA}$.

Đáp án đúng: B

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Khi đó $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO}$; $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO}$.

Do đó $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO}$.

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A'C'} = 2\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ$

Đáp án đúng: A

Ta có $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB}$.

Suy ra $m = \frac{1}{2};n = - 1;p = 1$.

Do đó 2m – n + p = 3.

Đáp án đúng: D

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3.2}} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$.

Đáp án đúng: C

Vì $\overrightarrow {DA'} = \overrightarrow {CB'}$ nên $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \widehat {ACB'} = 60^\circ$ (do ACB' là tam giác đều).

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}$$= SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB} = 0$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ$.

a) Có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN}$.

Do đó $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0$.

b) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}$$= 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}$$= 4\overrightarrow {MG}$.

c) d) Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN}$;

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN}$.

Suy ra $2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN}$$= \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}$$= \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD}$$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$.

b) Vì G là trọng tâm AB'C nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

c) Theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ mà $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'C'}$.

d) Xét $\triangle$BDB' có I là trung điểm của BD và $B'G = \frac{2}{3}B'I$ nên G là trọng tâm $\Delta$BDB'.

Gọi J là tâm của hình bình hành BDD'B'.

Khi đó $\overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BJ} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {BD'}$$\Rightarrow \overrightarrow {BD'} = 3\overrightarrow {BG}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SD}$$= \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {BM} - \left( {\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right)$$= \overrightarrow {SM} - 2\overrightarrow {SM} = - \overrightarrow {SM} = \overrightarrow {MS}$.

b) Có $AM = \sqrt {A{D^2} + D{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}$.

Xét $\Delta$SAM vuông tại A, có $SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{17{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}$.

Có $\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SM} } \right) = \widehat {ASM}$.

Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SM} } \right) = \cos \widehat {ASM} = \frac{{SA}}{{SM}} = a:\frac{{a\sqrt {21} }}{2} = \frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}$.

c) ${\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {SA} } \right|^2} = {\overrightarrow {AM} ^2} + {\overrightarrow {SA} ^2} - 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {SA}$$= {\overrightarrow {AM} ^2} + {\overrightarrow {SA} ^2} - 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SA} } \right)$

$= \frac{{17{a^2}}}{4} + {a^2} - 2.\frac{{a\sqrt {17} }}{2}.a.\cos 90^\circ = \frac{{21{a^2}}}{4}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {SA} } \right| = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}$.

d) Ta có $\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AS} } \right).\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}$ (vì $\overrightarrow {AS} \bot \overrightarrow {AB}$).

Ta có $BM = \sqrt {B{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}$; $AM = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}$.

Xét $\Delta$ABM có $\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}}}{{2.AB.AM}}$$= \frac{{{a^2} + \frac{{17{a^2}}}{4} - \frac{{17{a^2}}}{4}}}{{2.a.\frac{{a\sqrt {17} }}{2}}}$$= \frac{1}{{\sqrt {17} }}$.

Ta có $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right)$$= \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \widehat {BAM}$$= \frac{{a\sqrt {17} }}{2}.a.\frac{1}{{\sqrt {17} }} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {CD'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} = 2\overrightarrow {AA'}$.

b) $\overrightarrow {A'D} + \overrightarrow {CB'}$$= \overrightarrow {A'D} + \overrightarrow {DA'} = \overrightarrow 0$.

c) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a$.

d) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {CC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {{a^2} + 3{a^2} + 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Hai vectơ $\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {CO}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên hai vectơ này không bằng nhau.

b) Ta có $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO}$.

c) $\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0$ (vì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$)

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} = 4\overrightarrow {OG}$.

d) Xét $\Delta$ABC có $\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{4{a^2} + 9{a^2} - 7{a^2}}}{{2.2a.3a}} = \frac{{6{a^2}}}{{12{a^2}}} = \frac{1}{2}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}$$= 2a.3a.\frac{1}{2} = 3{a^2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Vì ACD, BCD là tam giác đều cạnh 8 nên $AM = BM = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3$.

Xét ABM có $\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}}}{{2.AB.AM}} = \frac{{{8^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.8.4\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \widehat {BAM} = 8.4\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 32$.

Trả lời: 32.

Ta có $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}}$

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow F$ có giá nằm trên cạnh AC'.

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên $\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2}} = \sqrt {29} \approx 5{,}39$ N.

Trả lời: 5,39.

Gọi $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N.

Vẽ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_3}}$.

Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC.

Hợp lực tác động vào vật là $\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD ta có:

OD$^{2}$ = BD$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2BD.OB.cos$\widehat {OBD}$= OA$^{2}$ + OB$^{2}$ + 2OA.OB.cos100°.

Vì OC  (OADB) nên OC  OD suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó tam giác ODE vuông tại D.

Ta có OE$^{2}$ = OC$^{2}$ + OD$^{2}$ = OC$^{2}$ + OA$^{2}$ + OB$^{2}$ + 2.OA.OB.cos100°.

Suy ra $OE = \sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ }$

$= \sqrt {{4^2} + {{25}^2} + {{12}^2} + 2.25.12.\cos 100^\circ } \approx 26{,}092$.

Vậy độ lớn của hợp lực là $F = OE \approx 26\;N$.

Trả lời: 26.

Đổi 105 g = 0,105 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:

$\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 0{,}105.9{,}8 = 1{,}029N \approx 1{,}03N$.

Trả lời: 1,03.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Ta có $\overrightarrow {{\rm{O}}A} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO$.

Trọng lượng của vật nặng là $P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)$. Suy ra $4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}$.

Lại có tam giác $ASC$ vuông cân tại $S$ nên

$SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30$.

Vậy $a = 30$.

Trả lời: 30.