Trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn B

Ta có $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Chọn B

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^b {\left| { - 8} \right|dx} = \int\limits_a^b {8dx}$.

Chọn A

Thể tích của vật thể được tạo nên là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx}$.

Chọn A

Ta có $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx} = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\pi + 1} \right)$.

Chọn C

Ta có $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx}$.

Chọn B

Diện tích hình phẳng cần tìm là $S = \int\limits_0^3 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_0^3 = {e^3} - 1$.

Chọn A

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} - 2} \right|dx}$.

Xét ${e^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2$.

Bảng xét dấu ${e^x} - 2$:

Ta có $S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} - 2} \right|dx} = - \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^x} - 2} \right)dx} + \int\limits_{\ln 2}^1 {\left( {{e^x} - 2} \right)dx} = \left. {\left( {2x - {e^x}} \right)} \right|_0^{\ln 2} + \left. {\left( {{e^x} - 2x} \right)} \right|_{\ln 2}^1$$= 4\ln 2 + e - 5$.

Chọn A

Diện tích phần gạch chéo:

$S = \int\limits_0^1 {\left| x \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^2 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx}$$= \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{3}} \right|_1^2$$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.

Chọn D

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx}$$= \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_0^1$$= \frac{\pi }{2}\left( {{e^2} - 1} \right)$.

Chọn A

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx}$$= - \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}}$

$= \left. { - \pi \ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = - \pi \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$= - \pi \ln \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$= - \pi \left( {\ln 1 - \ln \sqrt 2 } \right)$$= \frac{\pi }{2}\ln 2$.

a) Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $x\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$ cắt vật thể (T) theo mặt cắt có diện tích không đổi S(x) liên tục [−1; 1].

b) $V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx}$.

c) Diện tích của mặt cắt là $S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} = 4\left( {1 - {x^2}} \right)$.

d) Thể tích vật thể (T) là $V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \frac{{16}}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 4$ là $S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx}$.

b) Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^4 {4{e^{2x}}dx} = \left. {2\pi {e^{2x}}} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)$.

c) Diện tích hình H là ${S_H} = \int\limits_0^4 {\left| {2{e^x} - \sqrt x } \right|dx} = \int\limits_0^4 {\left( {2{e^x} - \sqrt x } \right)dx} = \left. {\left( {2{e^x} - \frac{2}{3}x\sqrt x } \right)} \right|_0^4 = 2{e^4} - \frac{{22}}{3}$.

d) Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

$V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^4 {\left| {4{e^{2x}} - x} \right|dx} = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4{e^{2x}} - x} \right)dx} = \left. {\pi \left( {2{e^{2x}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0$$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

Diện tích cần tính là ${S_2} = \int\limits_1^3 {\left| {x - 1 - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^3 = \frac{4}{3}$.

b) ${S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 3x + 2 - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx}$$= \left. {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right|_0^1 = \frac{4}{3}$.

c) ${S_1} = {S_2} = \frac{4}{3}$.

d) Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x + 2 - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = {S_1} + {S_2} = 2.\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$.

b) $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx}$.

c) $V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}dx}$.

d) $S = = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2$$= \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{{11}}{6}$

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị $y = {x^2},y = 0,x = 1,x = 2$.

Diện tích phần tô màu là $S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2}} \right|dx} = \int\limits_1^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Ta có $\int\limits_0^3 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = {S_A} - {S_B} = 4 - 10 = - 6$.

Lại có $\int\limits_0^3 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^3 = f\left( 3 \right) - f\left( 0 \right) = - 6 \Rightarrow f\left( 3 \right) = - 6 + f\left( 0 \right) = - 6 + 2 = - 4$.

Trả lời: −4.

Gọi $S$ là diện tích hình (H), suy ra $S = \int\limits_{ - 4}^0 {\sqrt {x + 4} dx} = \frac{{16}}{3}$.

Gọi S1 là diện tích hình (H1) giới hạn bởi đường thẳng d, trục tung và trục hoành.

Do $d:ax + by - 16 = 0$ đi qua $A\left( {0;2} \right)$ suy ra $b = 8$.

Theo giả thiết ${S_1} = \frac{S}{2} = \frac{8}{3}$ mà ${S_1} = \frac{1}{2}OA.OB \Rightarrow OB = \frac{8}{3} \Rightarrow B\left( { - \frac{8}{3};0} \right)$.

Do $B \in d \Rightarrow a = - 6$.

Vậy $a + b = 2$.

Trả lời: 2.

Diện tích phần tô màu là ${S_2} = \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}dx} = \left. {\frac{1}{4}\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}$.

Diện tích phần không tô màu là ${S_1} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}$.

Vậy $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2$.

Trả lời: 2.

Ta có $V = \int\limits_1^4 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_1^4 {3x.xdx} = \int\limits_1^4 {3{x^2}dx} = \left. {{x^3}} \right|_1^4 = 63$.

Trả lời: 63.

Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x + \frac{3}{2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^4 {\left( {x + 3\sqrt x + \frac{9}{4}} \right)dx}$

$= \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^4$$= 33\pi \approx 104$ lít.

Trả lời: 104.