Trắc nghiệm Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn B

Ta có $y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$.

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Chọn D

Có f'(x) = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0, ∀x $\in$ ℝ.

Hàm số đồng biến trên ℝ.

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên (2; +∞).

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng (−4; −1).

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên (−1; 1).

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta có:

+) f'(x) > 0 $\Leftrightarrow$ x $\in$ (−3; −2).

+) f'(x) < 0 $\Leftrightarrow$ x $\in$ (−∞; −3) $\cup$ (−2; +∞).

Do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) trên đoạn [−2; 4] ta có hàm số f'(x) có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương. Do đó hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Chọn C

Ta có y' = 3x2 – 6x – 9; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 3 hoặc x = −1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là 6; giá trị cực tiểu của hàm số là −26.

Suy ra tổng giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng −20.

Tập xác định D = (−∞; 0] $\cup$ [4; +∞).

Ta có $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 4x} }} = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }}$; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2 $\notin$ D.

Do đó hàm số không có cực trị.

Tập xác định D = ℝ\{−1}.

Ta có $y' = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = −3.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực tiểu của hàm số là 1.

a) Sai. Tập xác định D = ℝ.

b) Sai. Ta có y' = 3x$^{2}$ + 6x – 9.

c) Sai. Ta có y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = −3 hoặc x = 1.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1).

d) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A(−3; 42); B(1; 10).

Ta có $OA = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{42}^2}} = 3\sqrt {197}$; $OB = \sqrt {{1^2} + {{10}^2}} = \sqrt {101}$; $AB = \sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {10 - 42} \right)}^2}} = 4\sqrt {65}$.

Vậy chu vi tam giác OAB bằng $3\sqrt {197} + 4\sqrt {65} + \sqrt {101}$.

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (7; +∞).

b) Có −17 < f(1) < f(3) = −13.

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; 7).

d) Có f'(3x – 1) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 1\\3x - 1 = 3\\3x - 1 = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x = \frac{4}{3}\\x = \frac{8}{3}\end{array} \right.$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

b) Giá trị cực đại của hàm số là 4.

c) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (3; 4).

Điểm này nằm dưới đường thẳng y = 5.

d) Ta có $g'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 3} } \right)^\prime }f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 3} } \right)$$= \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 3} } \right)$.

Ta có $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 3} } \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x - 6 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 1 + \sqrt 7 \\x = - 1 - \sqrt 7 \end{array} \right.$.

Bảng xét dấu g(x)

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số g(x) có 3 cực trị.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Dựa vào bảng xét dấu của f'(x) ta có:

a) Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x = 7.

b) f(7) là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (7; 11).

d) Hàm số đồng biến trên khoảng (7; 11) nên f(7) < f(11).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Tốc độ truyền bệnh ngày thứ t là f'(t) = −3t$^{2}$ + 90t.

b) Có f'(t) =0 $\Leftrightarrow$ t = 0 hoặc t = 30 (loại).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có khoảng thời gian mà tốc độ truyền bệnh tăng là (0; 25).

c) Trong 25 ngày đầu thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất là ở ngày 25.

d) Trong 25 ngày đầu thì ngày có số người nhiễm bệnh nhiều nhất đạt tời 12500 người.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Tập xác định D = ℝ\{−13}.

Có $y' = \frac{{\left( {4x + 26} \right)\left( {x + 13} \right) - \left( {2{x^2} + 26x + 18} \right)}}{{{{\left( {x + 13} \right)}^2}}}$$= \frac{{2{x^2} + 52x + 320}}{{{{\left( {x + 13} \right)}^2}}}$.

Có y' = 0 $\Leftrightarrow$ 2x$^{2}$ + 52x + 320 = 0 $\Leftrightarrow$x = −16 hoặc x = −10.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có x$_{1}$ = −10; x$_{2}$ = −16.

Do đó P = −2.(−10) – 16 = 4.

Trả lời: 4.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có:

f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l}x = a\left( {a < - 1} \right)\\x = b\left( {0 < b < 1} \right)\\x = c\left( {x > 1} \right)\end{array} \right.$.

Ta có bảng xét dấu của f'(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 2 khoảng đồng biến.

Trả lời: 2.

Ta có f'(f(x)) = 0 $\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - 1\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right.$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $f\left( x \right) = - 1$ có 1 nghiệm.

f(x) = 2 có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó phương trình f'(f(x)) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Trả lời: 4.

Ta có f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = −2.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0). Khi đó b – a = 2.

Trả lời: 2.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có y' = 3x2 – 6x + 2a.

Do đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(2; −2) nên y'(2) = 0 $\Leftrightarrow$ a = 0 (1).

Mặt khác, do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; −2) nên y(2) = −2 $\Leftrightarrow$ 4a + b – 4 = −2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra a = 0; b = 2.

Kiểm tra lại bằng cách lập bảng biến thiên ta thấy thỏa mãn.

Do đó a + b = 2.

Trả lời: 2.