Trắc nghiệm Tính chất cơ bản của phân thức đại số lớp 8 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: C

Với phân thức $\frac{A}{B}\,\;\left( {B \ne 0} \right)$ ta có: $\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}.$

Đáp án đúng là: D

Với phân thức $\frac{A}{B}\;\left( {B \ne 0} \right)$ và đa thức $M \ne 0$ thì $\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot M}};\;\,\frac{A}{B} = \frac{{A:M}}{{B:M}};\;\,\frac{A}{{ - B}} = \frac{{ - A}}{B}.$

Câu sai là: $\frac{A}{B} = \frac{{A + M}}{{B + M}}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x + 2}}{x} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{x \cdot x}}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{x}{y} = \frac{{x \cdot y}}{{y \cdot y}} = \frac{{xy}}{{{y^2}}}.$ Vậy $\frac{x}{y} = \frac{{xy}}{{{y^2}}}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x \cdot x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + x}};\;\,\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x \cdot y}}{{y\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{xy}}{{xy + y}};\;\,\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2x}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{2x + 2}}.$

Phân thức $\frac{x}{{x + 1}}$ không bằng phân thức $\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x + y}}{{6 - x}} = \frac{{\left( { - 1} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( { - 1} \right)\left( {6 - x} \right)}} = \frac{{ - x - y}}{{x - 6}}.$ Do đó, đa thức thích hợp điền vào “...” là $- x - y.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2x - 2y}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{2\left( {x - y} \right)}} = \frac{{x + y}}{2}.$ Vậy rút gọn phân thức $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2x - 2y}}$ ta được phân thức $\frac{{x + y}}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2x - 2 = 2\left( {x - 1} \right).$

Do đó, mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{1}{{x - 1}}$ và $\frac{x}{{2x - 2}}$ là $2\left( {x - 1} \right).$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${x^2} + x = x\left( {x + 1} \right)$ nên mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{1}{{{x^2} + x}}$ và $\frac{x}{{x + 1}}$ là $x\left( {x + 1} \right).$

Do đó, $\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x \cdot x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}};\;\,\frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}.$

Vậy quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{{{x^2} + x}}$ và $\frac{x}{{x + 1}}$ ta được hai phân thức $\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}$ và $\frac{{{x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{{x^2} - 25}}{{{x^3} - 125}} = \frac{{{x^2} - {5^2}}}{{{x^3} - {5^3}}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 5x + 25} \right)}} = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 5x + 25}}.$

Vậy phân thức $\frac{{{x^2} - 25}}{{{x^3} - 125}}$ bằng phân thức $\frac{{x + 5}}{{{x^2} + 5x + 25}}.$

a) Đúng.

$P$ xác định khi ${\left( {x + 3} \right)^2} \ne 0$ hay $x + 3 \ne 0$ suy ra $x \ne - 3.$ Vậy $x \ne - 3$ thì phân thức $P$ có nghĩa.

b) Đúng.

Ta có: $P = \frac{{{x^3} - 9x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 9} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}}.$ Vậy $P = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}}.$

c) Sai.

Với $x = - 2$ (thỏa mãn) ta có: $P = \frac{{\left( { - 2} \right)\left( { - 2 - 3} \right)}}{{\left( { - 2} \right) + 3}} = \frac{{10}}{1} = 10.$ Vậy với $x = - 2$ thì $P = 10.$

d) Sai.

Với $P = - 3$ ta có: $\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}} = - 3$

$x\left( {x - 3} \right) = \left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$

${x^2} - 3x = - 3x - 9$

${x^2} = - 9$ (vô lí).

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $P = - 3.$

a) Sai.

Ta có: $\frac{{x + y}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{1}{{x - y}}.$ Vậy $P = \frac{1}{{x - y}}.$

b) Sai.

Ta có: $\frac{{{x^2} - 2xy + 4{y^2}}}{{{x^3} + 8{y^3}}} = \frac{{x - 2xy + 4{y^2}}}{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2xy + 4{y^2}} \right)}} = \frac{1}{{x + 2y}}.$ Do đó, $Q = \frac{1}{{x + 2y}}.$

Vậy $Q$ có tử thức bằng $1.$

c) Đúng.

Theo a) và b) ta có: $P = \frac{1}{{x - y}};\;\,Q = \frac{1}{{x + 2y}}.$ Do đó, mẫu thức chung của $P$ và $Q$ là $\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right).$

d) Đúng.

Ta có: $P = \frac{1}{{x - y}} = \frac{{x + 2y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}};\;\,Q = \frac{1}{{x + 2y}} = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}.$

Vậy quy đồng mẫu thức của $P$ và $Q$ ta được $P = \frac{{x + 2y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$ và $Q = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}.$

a) Đúng.

Ta có: $\frac{5}{{3 - x}} = \frac{{5 \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.$ Vậy phân thức $\frac{5}{{3 - x}}$ bằng phân thức $\frac{{ - 5}}{{x - 3}}.$

b) Sai.

Vì ${x^2} - 9 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$ nên $\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.$

c) Đúng.

Ta có: $\frac{1}{{ - x - 3}} = \frac{{ - 1}}{{x + 3}}.$

Mẫu thức chung của ba phân thức $\frac{1}{{ - x - 3}};\;\,\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}$ và $\frac{5}{{3 - x}}$ là $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).$

d) Sai.

Ta có: $\frac{{ - 1}}{{x + 3}} = \frac{{3 - x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{ - 5}}{{x - 3}} = \frac{{ - 5\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 5x - 15}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}.$

Vậy quy đồng mẫu ba phân thức $\frac{1}{{ - x - 3}};\;\,\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}$ và $\frac{5}{{3 - x}}$ ta được lần lượt các phân thức là:

$\frac{{3 - x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{x + 1}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{ - 5x - 15}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}.$

a) Sai.

$Q$ xác định khi ${x^2} - {y^2} \ne 0.$

b) Đúng.

Ta có: $Q = \frac{{10{x^2} - 20xy + 10{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{10\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{10{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{10\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}.$

Vậy rút gọn biểu thức $Q$ ta được $Q = \frac{{10\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}.$

c) Sai.

Vì $x = 1;\;\,y = - 1$ không thỏa mãn điều kiện ${x^2} - {y^2} \ne 0$ nên không tồn tại giá trị $Q$ khi $x = 1;\;\,y = - 1.$

d) Sai.

Với $x = 2y$ (thỏa mãn điều kiện) ta có: $Q = \frac{{10\left( {2y - y} \right)}}{{2y + y}} = \frac{{10y}}{{3y}} = \frac{{10}}{3}.$

Vậy với $x = 2y$ thì giá trị của phân thức $Q$ bằng $\frac{{10}}{3}.$

a) Sai.

Phân thức $P$ xác định khi ${x^2} - 5x + 6 \ne 0,$ suy ra $\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0,$ suy ra $x - 2 \ne 0$ và $x - 3 \ne 0.$

Do đó, $x \ne 2$ và $x \ne 3.$ Vậy với $x \ne 2$ và $x \ne 3$ thì phân thức $P$ xác định.

b) Sai.

Ta có: $P = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.$ Vậy rút gọn phân thức $P$ ta được $P = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.$

c) Đúng.

Với $P = 2$ thì $\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2,$ suy ra $x + 2 = 2\left( {x - 3} \right),$ suy ra $x + 2 = 2x - 6.$ Do đó, $x = - 8$ (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của $x$ để $P = 2.$

d) Đúng.

Với $x > 3$ thì $x - 3 > 0,\;\,x + 2 > 0$ nên $\frac{{x + 2}}{{x - 3}} > 0$ với $x > 3.$

Vậy với $x > 3$ thì giá trị của $P$ là số dương.

Đáp án: $- 1$

Ta có: $\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^2} - {x^2}}}{{ - {a^2} + 2ax}} = \frac{{{x^2} - 2ax + {a^2} - {x^2}}}{{ - {a^2} + 2ax}} = \frac{{{a^2} - 2ax}}{{ - \left( {{a^2} - 2ax} \right)}} = - 1.$

Vậy giá trị của phân thức $\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^2} - {x^2}}}{{ - {a^2} + 2ax}}$ bằng $- 1.$

Đáp án: $5$

Ta có: $\frac{{ - a{x^2} - ax}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - ax\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - ax}}{{x - 1}}.$

Do đó, để hai phân thức $\frac{{ - a{x^2} - ax}}{{{x^2} - 1}}$ và $\frac{{ - 5x}}{{x - 1}}$ bằng nhau thì $\frac{{ - ax}}{{x - 1}} = \frac{{ - 5x}}{{x - 1}},$ suy ra $a = 5.$

Vậy $a = 5$ thì hai phân thức $\frac{{ - a{x^2} - ax}}{{{x^2} - 1}}$ và $\frac{{ - 5x}}{{x - 1}}$ bằng nhau.

Đáp án: $15{,}3$

Nếu muốn loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là:

$\frac{{1{,}7.90}}{{100 - 90}} = 15{,}3$ (tỉ đồng)

Đáp án: $0$

Điều kiện xác định: ${x^4} + 8{x^2}{y^2} + 16{y^4} \ne 0.$

Ta có: $P = \frac{{{x^4} - 16{y^4}}}{{{x^4} + 8{x^2}{y^2} + 16{y^4}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4{y^2}}}.$

Với $x = 16;\;\,y = 8$ (thỏa mãn) ta có: $P = \frac{{{{16}^2} - 4 \cdot {8^2}}}{{{{16}^2} + 4 \cdot {8^2}}} = 0.$

Vậy với $x = 16;\;\,y = 8$ thì $P = 0.$

Đáp án: $7$

Điều kiện xác định: $x \ne 0$ và $x \ne 1.$

Ta có: $\frac{{6x - 6}}{{{x^2} - x}} = \frac{{6\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{6}{x}.$

Để phân thức $\frac{6}{x}$ có giá trị là số nguyên thì $x \in$Ư$\left( 6 \right) = \left\{ {1;\;\, - 1;\;\,2;\;\, - 2;\;\,3;\;\, - 3;\;\,6;\;\, - 6} \right\}.$

Kết hợp với điều kiện $x \ne 0$ và $x \ne 1$ ta có: $x \in \left\{ { - 1;\;\,2;\;\, - 2;\;\,3;\;\, - 3;\;\,6;\;\, - 6} \right\}.$

Vậy có 7 giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\frac{{6x - 6}}{{{x^2} - x}}$ có giá trị là số nguyên.