Trắc nghiệm Tích phân lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn A

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Chọn C

$\int\limits_1^2 {2f\left( x \right)dx}$$= 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2.2 = 4$.

Chọn B

Ta có $\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = - 2 - 3 = - 5$.

$\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 4\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 4.3 - 2.7 = - 2}$.

$\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx = 3 + 7 = 10} } }$.

Chọn A

$\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1$.

Chọn C

$\int\limits_1^4 {\left( {4{x^3} + 1} \right)dx} = \left. {\left( {{x^4} + x} \right)} \right|_1^4 = 258$.

Chọn A

$\int\limits_1^2 {\left( {\sqrt x } \right)dx} = \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^2 = \frac{{2\left( {\sqrt {{2^3}} - 1} \right)}}{3} = \frac{{2\sqrt 8 - 2}}{3}$.

Suy ra $a = 2;b = 2$. Do đó ${a^2} + {b^2} = {2^2} + {2^2} = 8$.

Chọn B

$I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx}$$= \int\limits_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx}$$= \left. {\left[ {x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_0^1 = 1 - \ln 2$.

Suy ra $a = 2$. Khi đó ${a^2} + a + 2 = {2^2} + 2 + 2 = 8$.

Chọn C

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {{{\cos }^2}2xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {\left( {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} = \left. {\left[ {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{8}} = \frac{\pi }{{16}} + \frac{1}{8}$.

Suy ra $a = 16;b = 1;c = 8 \Rightarrow P = a + b + c = 25$.

Chọn A

$\int\limits_0^1 {\left( {a{e^x} + b} \right)dx} = \left. {\left( {a{e^x} + bx} \right)} \right|_0^1 = ae + b - a$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b - a = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow a + b = 4$.

Chọn A

$\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx}$$= \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx}$$= \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right)dx} + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right)dx}$

$= \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^6 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_6^8 = \frac{{152}}{3}$.

Chọn C

Thời điểm vật dừng lại là $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 27 - 9\sqrt t = 0 \Leftrightarrow t = 9$ giây.

Quãng đường mà ô tô di chuyển được từ thời điểm $t = 0$ đến thời điểm mà vật dừng lại là:

$s = \int\limits_0^9 {\left( {27 - 9\sqrt t } \right)dt} = \left. {\left( {27t - 6t\sqrt t } \right)} \right|_0^9 = 81$ m.

Chọn C

Đổi 40 phút = 2400 giây.

Ta có $v\left( t \right) = \int {0{,}3dt} = 0{,}3t + C$.

Do vận tốc ban đầu bằng 0 nên $v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Do vậy $v\left( t \right) = 0{,}3t$.

Vậy quãng đường đi được trong 40 phút đầu tiên là $s = \int\limits_0^{2400} {0{,}3tdt} = 864000$ m.

a) $\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = \left. {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \right|_{ - 1}^2 = 25 - 16 = 9$.

b) $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{{{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}{9}} \right|_0^1 = \frac{8}{9} - \left( { - \frac{1}{9}} \right) = 1$.

c) Ta có $\int\limits_0^1 {\left[ {3f\left( x \right) - 1} \right]dx} = 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {1dx} = 3.1 - 1 = 2$.

d) $\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 1}^2 {2x{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} = 9 - \frac{{69}}{2} = - \frac{{51}}{2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^9 = F\left( 9 \right) - F\left( 0 \right)$.

b) Vì $\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 9$ $\Leftrightarrow F\left( 9 \right) - F\left( 0 \right) = 9 \Leftrightarrow F\left( 9 \right) - 3 = 9 \Leftrightarrow F\left( 9 \right) = 12$.

c) Theo tính chất $\int\limits_0^9 {3f\left( u \right)du} = \int\limits_0^9 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 27$.

d) Theo tính chất $\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^9 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 9$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sin 2xdx}$$= \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^\pi = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

b) Có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 2x} dx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Có $F\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1$. Suy ra $F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1$.

Do đó $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \pi + 1 = \frac{3}{2}$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin 2x} \right)dx}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}$$= \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

d) $\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\sin 2x} \right|dx}$$= 2\int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} = 2.0 = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Quãng đường xe di chuyển được phải là nguyên hàm của $v\left( t \right)$, $v'\left( t \right) = 2{,}01 - 0{,}05t\left( {0 \le t \le 10} \right)$ là công thức tính gia tốc của vật.

b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3 giây là $\int\limits_0^3 {\left( {2{,}01t - 0{,}025{t^2}} \right)dt} = 8{,}82$ m.

c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 là:

$s\left( 9 \right) - s\left( 8 \right) = \int\limits_8^9 {\left( {2{,}01t - 0{,}025{t^2}} \right)dt} \approx 15{,}277$ m.

d) Ta có $v\left( t \right) = 2{,}01t - 0{,}025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)$ $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = 17{,}6$ m/s khi t = 10 giây.

Gia tốc vật khi đó là $a\left( {10} \right) = v'\left( {10} \right) = 2{,}01 - 0{,}05.10 = 1{,}51\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right)$.

b) Có $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {5 + 3t} \right)dt} = \int {5dt} + \int {3tdt} = \frac{3}{2}{t^2} + 5t + C$.

Vì $s\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Do đó $s\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t$.

c) Ta có $s = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^6 = \frac{3}{2}{.6^2} + 5.6 = 84$.

d) Máy bay rời đường băng khi $t = 35$ giây nên $s = \int\limits_0^{35} {v\left( t \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^{35} = 2012{,}5$.

Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng làm tròn đến hàng đơn vị là 2013 m.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1 - \sin x} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \frac{\pi }{2} - 1 = \pi \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) - 1$.

Suy ra $a = 4;b = 2$. Suy ra $a + b = 6$.

Trả lời: 6.

$A = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 2024m} \right)dx = 5}$$\Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 2024mx} \right)} \right|_0^1 = 5$$\Leftrightarrow 2024m - \frac{1}{6} = 5$$\Leftrightarrow 2024m = \frac{{31}}{6}$

Thay $2024m = \frac{{31}}{6}$ vào B, ta được $B = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + \frac{{49}}{6}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + \frac{{49}}{6}x} \right)} \right|_1^2 = 6$.

Trả lời: 6.

Ta có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)$$\Rightarrow F\left( 2 \right) = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + F\left( 0 \right) = 3 + 2 = 5$.

Trả lời: 5.

Khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s, suy ra ${t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - 20\end{array} \right.$.

Vì $t > 0$ nên $t = 10$.

Quãng đường mãy bay di chuyển trên đường băng là $\int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3} \approx 833$ m.

Trả lời: 833.

Ta có ${v_1}\left( t \right) = {v_2}\left( t \right) \Leftrightarrow 2t + 12 = 24 - 6t \Leftrightarrow t = 1{,}5$.

Vậy xe di chuyển với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 2t + 12$ sau 1,5 giây thì phanh gấp.

Có ${v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Vậy xe di chuyển với vận tốc ${v_2}\left( t \right) = 24 - 6t$ sau 4 giây thì dừng lại.

Quãng đường xe đi được là $\int\limits_0^{1{,}5} {{v_1}\left( t \right)dt} + \int\limits_{1{,}5}^4 {{v_2}\left( t \right)dt}$$= \left. {\left( {{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^{1{,}5} + \left. {\left( {24t - 3{t^2}} \right)} \right|_{1{,}5}^4 = 39$ m.

Trả lời: 39.