Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số lớp 10 (có đáp án)

Đáp án đúng là C

Tích của một vectơ $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$với số thực k < 0 là một vec tơ kí hiệu $k\overrightarrow a$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow a$.

Đáp án đúng là B

Ta có (k + t)$\overrightarrow a$ = k$\overrightarrow a$ + t$\overrightarrow a$. Do đó B sai.

Đáp án đúng là D

Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AC = 2AB.

Ta có $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB}$. Suy ra k = 2 > 1.

Vậy k thỏa mãn điều kiện k > 1.

Đáp án đúng là C

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

Xét đẳng thức: $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {KI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {IB}$ hay $\overrightarrow {IK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IB}$

Vì vậy điểm K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn $IK = \frac{1}{3}IB$.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

⇔ $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

⇒ a = $\frac{1}{2}$, b = $\frac{1}{2}$.

⇒ S = a + 2b = $\frac{1}{2}$ + 2.$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + 1 = $\frac{3}{2}$.

Vậy S = $\frac{3}{2}$.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow {NG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

$$= \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$$

$$= \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$$

$= - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

Vậy $\overrightarrow {NG} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Xét $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + 2\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} = - \overrightarrow {GC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {GC}$.

Vậy G là điểm nằm giữa G và C sao cho $GM = \frac{1}{4}GC$.

Đáp án đúng là B

Ta có hình vẽ sau:

Xét hình bình hành OABC, có:

$\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow b ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow u$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow u = \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\overrightarrow {ON} = \overrightarrow v ,\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow b ,\overrightarrow {OP} = - 2\overrightarrow a$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow v = \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow a = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b .$

Vậy $\overrightarrow u = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b .$

Đáp án đúng là C

Để xác định vị trí điểm M, trước hết ta biểu thị $\overrightarrow {AM}$ (với gốc A đã biết) theo hai vec tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$.

Đẳng thức vec tơ đã cho tương đương với $\overrightarrow {MA} + 3\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 6\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Vì E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$AC nên $\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Vì vậy $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF}$.

Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.

Đáp án đúng là A

Vectơ $5x\overrightarrow a + 4\overrightarrow b$ và $\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$cùng phương khi 5x = - 2(3x – 2)

⇔ 5x = -6x + 4

⇔ 11x = 4

⇔ x = $\frac{4}{{11}}$.

Vậy x = $\frac{4}{{11}}$.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = - \overrightarrow {{F_3}}$

Mà $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD}$ (OBDA là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow {OD} = - \overrightarrow {{F_3}}$

$\Rightarrow$Hai vecto $\overrightarrow {OD}$ và $\overrightarrow {{F_3}}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \left| { - \overrightarrow {{F_3}} } \right|$ và $\widehat {BOD} = {60^0}$.

Ta lại có: $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {{F_1}}$

Xét ΔOBD, có:

$OB = \frac{{BD}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\left( N \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}N.$

$OD = \frac{{BD}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\left( N \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}N.$

Vậy độ lớn vecto $\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ lần lượt là $\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}N,\frac{{40\sqrt 3 }}{3}N.$

Đáp án đúng là C

Vì ABCD là hình bình hành nên AH = HC = $\frac{1}{2}$AC. Khi đó $\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + 2.\frac{1}{2}.\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

Gọi M là trung điểm của DC

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right|$

Xét tam giác ADM vuông tại M, có:

AM$^{2}$ = AD$^{2}$ + DM$^{2}$ = 2$^{2}$ + ${\left( {\frac{2}{2}} \right)^2}$= 5 (định lí Py – ta – go)

⇔ AM = $\sqrt 5$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 5 .$

Đáp án đúng là B

Ta có $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD}$

$$= \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)$$

$$= \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {MN}$$

$$= 2\overrightarrow {MN}$$

Vậy $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN}$.

Đáp án đúng là C

Ta có: $- 6\left( {\frac{1}{6}\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = - \overrightarrow a + \overrightarrow b$. Do đó vectơ $\frac{1}{6}\overrightarrow a - \overrightarrow b$ và $- \overrightarrow a + 6\overrightarrow b$ cùng phương.

Đáp án đúng là A

+) Ta có hai vectơ $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng và $MP = \frac{4}{5}MN$. Suy ra $\overrightarrow {MP} = \frac{4}{5}\overrightarrow {MN}$ hay $5\overrightarrow {MP} = 4\overrightarrow {MN}$. Do đó A đúng.

+) Ta có hai vectơ $\overrightarrow {PM}$ và $\overrightarrow {PN}$ ngược hướng và PM = 4PN. Suy ra $\overrightarrow {PM} = - 4\overrightarrow {PN}$. Do đó B sai.

+) Ta có hai vectơ $\overrightarrow {PN}$ và $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng và $PN = \frac{1}{5}MN$. Suy ra $\overrightarrow {PN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MN}$. Do đó D sai.