Trắc nghiệm Thể tích lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

C

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.10.3 = 10$.

D

Định nghĩa thể tích khối lăng trụ là $V = Bh$.

B

Ta có: $V = B.h = 3{a^2}.2a = 6{a^3}$.

B

Vậy thể tích khối lập phương cạnh $2$ là: $V = {2^3} = 8$.

D

Thể tích của khối hộp đã cho bằng $V = 3.4.5 = 60$.

D

Ta có $AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2$, ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Thể tích khối lăng trụ là $V = AA'.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.

D

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA$ là đường cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp$S.ABCD$***:* **$V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

C

${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA \Rightarrow SA = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = a\sqrt 3$.

B

Kẻ $SH \bot AC$, $H \in AC$ suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

$AC = 2a$, tam giác $SAC$ vuông ở $S$, góc $\widehat {SAC} = 60^\circ$ nên $SA = a,\,SC = a\sqrt 3 ,\,SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Thể tích hình chóp là $V = \frac{1}{3}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

A

Trước khi tính thể tính hình chóp cụt bạn cần phải tính được diện tích đáy lớn, đáy bé của hình chóp cụt. Theo đó diện tích đáy lớn, đáy bé lần lượt là:

${S_{{\rm{1 }}}} = 6.6 = 36;{S_2} = 3.3 = 9$

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp cụt ta có:

$V = \frac{4}{3}(36 + \sqrt {36.9} + 9) = 84\left( {\;c{m^3}} \right)$.

a) Vì A'H $\perp$ (ABC) nên A'H là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

Do đó A'H là đường cao hình lăng trụ.

b) Ta có A'H $\perp$ (ABC) $\Rightarrow$ A'H $\perp$ HA. Suy ra tam giác A'HA vuông tại H.

c) Có $BH = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2};AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$\Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

d) ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {18} }}{8}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Vì ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

b) Có BD $\perp$ AC và BD $\perp$ AA' nên BD $\perp$ (A'AO) $\Rightarrow$ (A'BO) $\perp$ (A'AO).

c) Ta có ${S_{\Delta ABO}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}}}{4}$.

Ta có ${V_{O.A'AB}} = {V_{A'.ABO}} = \frac{1}{3}{S_{ABO}}AA' = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{4}.a = \frac{{{a^3}}}{{12}}$.

d) Ta có $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên A'O.

Khi đó $AH = \frac{{AO.AA'}}{{\sqrt {A'{A^2} + O{A^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Do đó $d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) b) Ta có: $AD//BC \Rightarrow AD//(SBC) \Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))$.

Trong mặt phẳng $(SAB)$, kẻ $AH \bot SB$ tại $H$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC} \right.$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot (SBC)$ hay $d(A,(SBC)) = AH$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}$

Vậy $d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ $AK \bot SD$ tại $K$. (3)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SAD) \Rightarrow AB \bot AK} \right.$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AK$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB,SD$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ nên $AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}$

Vậy $d(AB,SD) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

c) Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2$.

Thể tích khối chóp cần tìm là:

${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}$(đơn vị thể tích).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Gọi $H$ là trung điểm $AB$, mà tam giác $SAB$ đều nên $SH \bot AB$.

Ngoài ra $(SAB) \bot (ABC)$ nên $SH \bot (ABC)$.

b) Ta có: $d(S,(ABC)) = SH = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ($do tam giác $SAB$ đều cạnh $2a)$.

c) Kẻ đường cao $CK$ của tam giác $ABC$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{CK \bot AB}\\{CK \bot SH}\end{array} \Rightarrow CK \bot (SAB) \Rightarrow d(C,(SAB)) = CK} \right.$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có:

$BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}} = a;CK = \frac{{CA \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $d(C,(SAB)) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

d) Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Thể tích khối chóp là: ${V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Theo giả thiết, DSAB vuông tại A có $SB = a\sqrt 3 ;\widehat {ASB} = 30^\circ$.

Khi đó $SA = SB.\cos 30^\circ = \frac{{3a}}{2}$ và $AB = SB.\sin 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Do SA $\perp$ (ABC) nên (SAB) $\perp$ (ABC).

b) Vì (SAB) $\perp$ (ABC) và (SAB) $\perp$ (SBC) nên (SBC) $\perp$ (ABC) .

Suy ra BC $\perp$ (SAB) $\Rightarrow$ (SC, (SAB)) = (SC, SB) = $\widehat {CSB} = 45^\circ$.

Suy ra DSBC vuông cân tại B $\Rightarrow$ BC = SB = $a\sqrt 3$.

c) BC $\perp$ (SAB) $\Rightarrow$ CB $\perp$ AB $\Rightarrow$ DABC vuông tại B.

d) Có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{3{a^2}}}{4}$ và $V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{3{a^3}}}{8}$.

Vậy tỉ số $\frac{{{a^3}}}{V} = \frac{8}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Thể tích của bể cá hình hộp chữ nhật là V = abc = 0,6.2.0,8 = 0,96 (m$^{3}$).

Trả lời: 0,96.

Thể tích khối rubik là V = 6$^{3}$ = 216 (cm$^{3}$).

Trả lời: 216.

Ta có diện tích đáy ${S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$.

Gọi H là trung điểm AB $\Rightarrow$ SH $\perp$ AB.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Do DABC đều nên AB $\perp$ CH và AB $\perp$ SH nên AB $\perp$ (SHC) mà CD // AB

$\Rightarrow$ CD $\perp$ (SHC) $\Rightarrow$ CD $\perp$ SC.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SC \bot CD,SC \subset \left( {SCD} \right)\\HC \bot CD,HC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.$ suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc $\widehat {SCH}$$\Rightarrow \widehat {SCH} = 45^\circ$

Suy ra DSHC vuông cân tại H $\Rightarrow SH = CH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{9\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{27}}{4} \approx 6{,}75$.

Trả lời: 6,75.

Ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ suy ra $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

${S_{ABC}} = 24$, $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = 32$.

Trả lời: 32.

Đặt $AB = x,\left( {x > 0} \right)$, gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Vì DABC đều $\Rightarrow$ AM $\perp$ BC và AA' $\perp$ BC $\Rightarrow$ BC $\perp$ (AA'M) $\Rightarrow$ BC $\perp$ A'M.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'MA} = 30^\circ$.

Xét $\Delta A'AM$, có $A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = x$.

${S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M.BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4$

Suy ra $A'A = AM.\tan 30^\circ = \frac{{4.\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2$; ${S_{ABC}} = \frac{{16.\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \approx 13{,}9$.

Trả lời: 13,9.