Trắc nghiệm Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác lớp 7 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: A

Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $AM$ là đường trung tuyến thì $AG = \frac{2}{3}AM$.

Đáp án đúng là: D

Tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến $AE$ và $BF$ cắt nhau tại $O$. Khi đó, $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Đáp án đúng là: A

Điểm cách đều ba cạnh của một tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.

Đáp án đúng là: A

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC$ thì $GA = GB = GC$.

Đáp án đúng là: A

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Đáp án đúng là: D

Ta có $G$ là giao của hai trung tuyến $BM$ và $CN$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Do đó, $GN = \frac{{GC}}{2}.$

Đáp án đúng là: C

Tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BE$ và $AD$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó $AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ cm và $BG = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}.12 = 8$ cm.

Xét tam giác $AGB$ vuông tại $G$:

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $AB < AG + GB = 6 + 8 = 14$.

Vì $AB$ là cạnh huyền nên $AB > BG$ hay $AB > 8$.

Do đó độ dài cạnh $AB$ nằm trong khoảng $\left( {8;\,\,14} \right)$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Vì hai đường phân giác $CD$ và $BE$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác $ABC$.

Do đó, $AI$ là đường phân giác của $A$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE.$ Trong $\Delta GBC$ ta có: $BC + CG > BC.$

Ta lại có: $BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$ (tính chất các đường trung tuyến của tam giác $ABC$)

Từ đó, ta có: $\frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BG + CG$, suy ra $\frac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC$.

Do đó, $BD + CE > \frac{3}{2}BC$.

a) Đúng.

Tam giác $ABC$ có $AM,\,\,BD$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

b) Sai.

Khi đó $BI = \frac{2}{3}BD$ (1)

Vì vậy $BD - ID = \frac{2}{3}BD$.

Suy ra $ID = \frac{1}{3}BD$ (2)

Từ (1), (2), suy ra $BI = 2ID$ (*)

c) Đúng.

Chứng minh tương tự, ta được $EK = 2DK$ (**)

Ta có $DB = DE$ (giả thiết)

Suy ra $DI + BI = DK + KE$.

Khi đó $DI + 2DI = DK + 2DK$.

Vì vậy $3DI = 3DK$ hay $DI = DK.$

Suy ra $DI = DK$(***)

d) Sai.

Khi đó $DI + DK = DK + DK$.

Vì vậy $IK = 2DK$ (****)

Từ (*), (**), (***), (****), suy ra $BI = IK = KE$.

a) Sai.

Xét $\Delta ABC$và $\Delta AEC$, có:

$AC$ là cạnh chung.

$AB = AE$ ($A$ là trung điểm $BE$).

$\widehat {BAC} = \widehat {CAE} = 90^\circ$.

Do đó $\Delta ABC = \Delta AEC$ (c.g.c)

b) Đúng.

Tam giác $BCE$ có $BH,\,\,CA$ là các đường trung tuyến.

Mà $BH$ cắt $AC$ tại $M.$

Do đó $M$ là trọng tâm của tam giác $BEC.$

c) Đúng.

Ta có $K$ là trung điểm của $BC.$

Suy ra $EK$ là đường trung tuyến thứ ba của tam giác $EBC.$

Khi đó $M \in EK$ hay ba điểm $E,\,\,M,\,\,K$ thẳng hàng.

d) Đúng.

Nhận thấy $AC$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác $ECB$ nên $\Delta BEC$ cân tại $C$.

a) Đúng.

Xét $\Delta HKC$, có:

Ta có: $BH = 2BK$ hay $BK + KH = 2BK$ suy ra $KH = BK.$

Mà $MK = \frac{1}{2}KB$ nên $MK = \frac{1}{2}KH$ hay $M$ là trung điểm của $KH$.

Lại có: $IC = \frac{1}{3}CA = \frac{1}{3} \cdot 2MC = \frac{2}{3}MC$ với $MC$ là trung tuyến của $\Delta HKC$.

Suy ra $I$ là trọng tâm của $\Delta HKC$.

b) Đúng.

Có $I$ là trọng tâm của $\Delta HKC$ (cmt) nên $KI$ là đường trung tuyến trong $\Delta HKC$.

Mà đường thẳng $KI$ cắt $HC$ ở $E$ nên $E$ là trung điểm của $HC.$

c) Sai.

Ta có $I$ là trọng tâm của $\Delta HKC$ nên $\frac{{IE}}{{KE}} = \frac{1}{3}$ và $\frac{{IK}}{{KE}} = \frac{2}{3}$ do đó, $\frac{{IE}}{{IK}} = \frac{1}{2}.$

d) Đúng.

Ta có $\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{1}{3}$ hay $MI = \frac{1}{3}MC$.

Mà $MC = \frac{1}{2}AC$.

Suy ra $MI = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}AC$.

Do đó, $\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{6}.$

a) Đúng.

Ta có: $BF = 2BE$ suy ra $BE = EF.$

Mà $BE = 2ED$ nên $EF = 2ED.$

Do đó, $D$ là trung điểm của $EF.$

b) Đúng.

Vì $D$ là trung điểm của $EF$ nên $CD$ là đường trung tuyến của tam giác $EFC$.

Vì $K$ là trung điểm của $CF$ nên $EK$ là đường trung tuyến của $\Delta EFC$.

Vì $\Delta EFC$ có hai đường trung tuyến $CD$ và $EK$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta EFC$.

c) Sai.

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta EFC$ nên $\frac{{GC}}{{DC}} = \frac{2}{3}$ và $GE = \frac{2}{3}EK$.

d) Đúng.

Có $GE = \frac{2}{3}EK$ nên $GK = \frac{1}{3}EK$ nên $GE = 2GK$. Do đó, $\frac{{GE}}{{GK}} = 2.$

a) Đúng.

Vì hai trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

b) Đúng.

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE$ (tính chất trọng tâm tam giác)

Mà $BD = CE$ (giả thiết) nên $\frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}CE$ hay $BG = CG$.

Suy ra tam giác $GBC$ là tam giác cân.

c) Đúng.

Ta có: $BG = \frac{2}{3}BD$ nên $DG = \frac{1}{3}BD$ do đó $BG = 2DG$ hay $DG = \frac{1}{2}BG.$

Lại có $CG = \frac{2}{3}CE$ nên $GE = \frac{1}{3}CE$ do đó $CG = 2CE$ hay $CE = \frac{1}{2}CG$.

Mà $BG = CG$ (cmt) nên $DG = EG$.

Ta có: $DG + EG = \frac{1}{2}BG + \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}\left( {BG + CG} \right)$.

d) Sai.

Xét tam giác $GBC$ có $BG + CG > BG$ (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Vậy $DG + EG > \frac{1}{2}BC$ (đpcm).

Đáp án: 4

Tam giác $MNP$ có $NE$ là đường trung tuyến và $G$ là trọng tâm của tam giác $MNP$.

Suy ra $NG = \frac{2}{3}NE = \frac{2}{3}.6 = 4$ (cm)

Đáp án: 60

Tam giác $ABC$ có $BI,\,\,CI$ là hai đường phân giác.

Suy ra $\widehat {ABC} = 2\widehat {IBC}$ và $\widehat {ACB} = 2\widehat {ICB}$.

Tam giác $IBC$ có: $\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Khi đó $2\left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 120^\circ$.

Vì vậy $2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICB} = 120^\circ$.

Suy ra $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 120^\circ$.

Tam giác $ABC$ có: $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Đáp án: 9

Vì $O$ là giao điểm của hai tia phân giác $\widehat {ABC}$ và $\widehat {CAB}$ (gt).

Suy ra, $CO$ là phân giác của $\widehat {ACB}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Suy ra $\widehat {ACO} = \widehat {BCO}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

$BO$ là phân giác của $\widehat {ABC}$ suy ra $\widehat {OBA} = \widehat {OBC}$ (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì $MN\parallel BC$ (gt) nên $\widehat {MOB} = \widehat {OBC}$ và $\widehat {NOc} = \widehat {OCB}$ (so le trong).

Từ (1) và (4) suy ra $\widehat {NOC} = \widehat {NCO}$.

Do đó, $\Delta NOC$ cân tại $N$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra $NO = NC = 5\,\,{\rm{cm}}$

Từ (2) và (3) suy ra $\widehat {MOB} = \widehat {MBO}$ nên $\Delta MOB$ cân tại $N$.

Suy ra $MB = MO = 4\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy $MN = MO + ON = 5 + 4 = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Đáp án: 2

Nhận thấy $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$, do đó, ta có: $\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{GD}}{{AD}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{{AG}}{{GD}} = \frac{{AG}}{{AD}}:\frac{{GD}}{{AD}} = \frac{2}{3}:\frac{1}{3} = 2$.

Đáp án: 30

Ta có $\widehat {CAx}$ và $\widehat {CAB}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {CAx} = 180^\circ - \widehat {CAB} = 60^\circ$.

Lại có $AD$ là phân giác của $\widehat {CAB}$ nên $\widehat {CAD} = \widehat {DAB} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$.

Suy ra $\widehat {CAx} = \widehat {CAD} = 60^\circ$ nên $AC$ là phân giác của $\widehat {DAx}$

Xét $\Delta ABD$ có $AE$ là tia phân giác góc ngoài đỉnh $A$, $BE$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$.

Mà hai đường phân giác này cắt nhau tại $E$, do đó $DE$ cũng là phân giác của $\widehat {ADC}$.

Mà $\widehat {EDC}$ là góc ngoài đỉnh $D$ của $\Delta BED$ nên ta có $\widehat {BED} + \widehat {{B_2}} = \widehat {{D_2}}$.

Suy ra $\widehat {BED} = \widehat {{D_2}} - \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat {ADC} - \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ABD} + \widehat {BAD} - \widehat {ABC}}}{2} = \widehat {\frac{{BAD}}{2}} = 30^\circ$.

Vậy $\widehat {BED} = 30^\circ$.