Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn D

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (R) ta được 3 + 4 – 7 = 0 (đúng).

Vậy M ∈ (R).

Chọn A

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3;1} \right)$.

Chọn B

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(3; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4; - 2; - 3} \right)$ là

4(x – 3) −2y – 3(z + 1) = 0 Û 4x – 2y – 3z – 15 = 0.

Chọn C

Mặt phẳng đi qua điểm A(1; −2; 3) và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)$ nhận $\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình –(x – 1) + 2(y + 2) + 3(z – 3) = 0 Û x – 2y – 3z + 4 = 0.

Chọn A

Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 3(x + 1) + y – (z – 1) = 0 Û 3x + y – z + 4 = 0.

Chọn C

Mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0$ Û 3x – 2y + z – 12 = 0.

Chọn C

Mặt phẳng qua 3 điểm A(−1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; −3) có phương trình là $\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1$.

Chọn C

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \\{D_1} \ne k{D_2}\end{array} \right.$.

Chọn C

Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$.

Chọn A

Ta có (P) // (Q). Lấy A(1; 0; 0) Î (P).

Khi đó $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$.

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;1; - 1} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 3.5 + 3 + 6 – 12 ≠ 0. Suy ra A Ï (P).

c) Vì M Î (P) nên 3a + b – 1 – 12 = 0 Û 3a + b = 13.

d) (P) cắt trục Ox tại A(4; 0; 0), cắt trục Oz tại B(0; 0; −12).

Vì Ox ^ Oz nên DOAB vuông tại O.

Khi đó ${S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.4.12 = 24$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 4$.

b) (P) cắt trục Ox tại điểm $\left( { - \frac{3}{2};0;0} \right)$ có hoành độ $- \frac{3}{2}$.

c) (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)$.

d) Vì M Î (P) nên 2a – 2b + c + 3 = 0 (1).

Lại có $AM = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4$ Þ M là hình chiếu vuông góc của A lên (P).

Khi đó $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;b + 2;c - 3} \right)$ cùng phương với vectơ pháp tuyến của (P) $\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)$.

Khi đó ta có $\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $\left\{ \begin{array}{l}2a - 2b + c + 3 = 0\\\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{3}\\b = \frac{2}{3}\\c = \frac{5}{3}\end{array} \right.$$\Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{3} = 1$.

b) $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow M \in \left( Q \right)$.

c) Ta có $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1$.

d) Vì $d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = 2$ nên $d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2 \Leftrightarrow D = 0$.

Vậy (α): 2x – y + 2z = 0.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right)$. Hai vectơ này không cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Do ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tồn tại một mặt phẳng duy nhất qua ba điểm này.

c) Ta có mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;3} \right)$.

d) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là $\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2\overrightarrow n$.

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 2;1;1} \right)$.

b) Phương trình mặt phẳng (ABC): $- 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0$.

Thay tọa độ điểm M(3; 1; 5) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được −2.3 + 1 + 5 = 0 (đúng).

Vậy mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow n = - 2.1 - 1.1 + 1.2 = - 1 \ne 0$ nên mặt phẳng (ABC) không vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Vì (β) // (α) nên (β): x – 2y + 2z + d = 0 (d ≠ 2).

Khoảng cách từ M đến (β) bằng 1 nên $\frac{{\left| {1 - 2.2 + 2\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\left( {TM} \right)\\d = 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$.

Vậy (β): x – 2y + 2z + 8 = 0. Suy ra b = 2; c = 2; d = 8.

Do đó 3b – c + d = 3.2 – 2 + 8 = 12.

Trả lời: 12.

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {m - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;0; - 1} \right)$.

Để (P) ^ (Q) thì $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0$ $\Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) + 1.0 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m - 1 = - 1 \Leftrightarrow m = 0$.

Trả lời: 0.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$$\Leftrightarrow 2x + y - 2z - 4 = 0$.

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D là $d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{3}$.

Suy ra a = 5; b = 3. Do đó T = 5 – 2.3 = −1.

Trả lời: −1.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 2} \right)$.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0; - 4; - 4} \right) = - 4\left( {0;1;1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng (Q): y + z – 2 = 0 Û −y – z + 2 =0.

Do đó $T = a + b + c = - 2$.

Trả lời: −2.

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Ta có OA + OB + OC = a + b + c.

Vì M(1; 4; 9) Î (P) $\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1$.

Ta có $\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}$Þ $a + b + c \ge 36$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.$.

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): $\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1$$\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0$.

Vậy $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 36} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{{36}}{7} \approx 5{,}14$.

Trả lời: 5,14.