Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn C

Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I, bán kính R khi OM > R.

Chọn A

Mặt cầu (S) có I(−1; 2; 1) và R = 3.

Chọn C

Mặt cầu (S) có bán kính $R = \sqrt 6$. Suy ra đường kính của (S) là $2\sqrt 6$.

Chọn A

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Suy ra I(1; −2; −1) và R = 3.

Chọn D

${\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 81$.

Chọn A

Mặt cầu có tâm I(2; 1; −3) và bán kính 9 có phương trình là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 81$.

Chọn C

$R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4$.

Phương trình cần tìm là ${\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16$.

Chọn D

Tâm của mặt cầu là trung điểm của AB Þ I(−1; 3; 3).

Bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {8 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 7} \right)}^2}} }}{2} = 3\sqrt 5$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 45$.

Chọn C

Phương trình mặt phẳng (Oyz): x = 0.

Ta có $R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 13 = 0$.

Chọn B

Ta có $IB = 1 < R$ nên điểm B nằm bên trong mặt cầu trên, suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

a) Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 0) và bán kính R = 2.

Suy ra đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.

b) Có $IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt 5 > R$ nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.

c) Mặt phẳng (Oyz) có phương trình $x = 0$.

Khi đó $d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| { - 2} \right| = 2$.

d) Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R$nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) và R = 3.

b) Có $IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}} = 3 = R$.

Suy ra mặt cầu (S) đi qua điểm A.

c) Có $d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 2.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 = R$.

Suy ra mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q).

d)

Ta có $IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}$

Khi đó $HA = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = \sqrt {9 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường thẳng d đi qua M(4; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)$.

b) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 0), R = 2.

c) d) Tọa độ giao điểm của d và mặt cầu (S) là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} + {0^2} = 4\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{t^2} + 8t + 6 = 0\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 3\end{array} \right.\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$.

Với t = −1 thì $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow A\left( {3;0;0} \right)$.

Với t = −3 thì $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow B\left( {1;2;0} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Mặt cầu tâm B, bán kính R = 3 có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9$.

b) Có $R = AB = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 5$.

c) Mặt cầu đường kính BC nhận trung điểm $I\left( {0;1;\frac{3}{2}} \right)$ của BC làm tâm và $R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {13} }}{2}$.

Suy ra mặt cầu nhận BC làm đường kính có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{4}$.

d) $G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3};1} \right)$ là trọng tâm của DABC.

$R = OG = \sqrt {\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 1} = \sqrt {\frac{{14}}{9}}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{14}}{9}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $T\left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{ - 1 + 3}}{2}} \right) = \left( {3;1;1} \right)$.

b) Có $R = \frac{{DE}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 6$.

Phương trình mặt cầu (S) là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$.

c) Có $TF = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {11} > \sqrt 6$.

Do đó một người dùng ở vị trí F thì không nhận được tín hiệu sóng của trạm.

d) Nếu hai người dùng đều nhận được tín hiệu của trạm phát sóng thì khoảng cách giữa hai người nhỏ hơn hoặc bằng đường kính phủ sóng là $2\sqrt 6$ km.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1$ có tâm $I\left( {0;0;2} \right),R = 1$.

Ta có $d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2$.

Do đó chú chim cách mặt đất: 2 + 1 = 3 mét.

Trả lời: 3.

Vì I $\in$ D nên $I\left( {2 - 3t;1 + 2t;1 + 2t} \right)$.

Vì $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$

$\Leftrightarrow \left| { - 3t} \right| = \left| {6 - 3t} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3t = 6 - 3t\\ - 3t = 3t - 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow t = 1$.

Với $t = 1$ thì $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{3} = 1$.

Đường kính của mặt cầu là 2.

Trả lời: 2.

Giả sử I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S).

Vì I $\in$ (P) nên a + b – c – 1 = 0.

Lại có $IA = IB$$\Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}$$\Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} + {\left( { - 1 - c} \right)^2} = {\left( { - 1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + {\left( {1 - c} \right)^2}$$\Leftrightarrow a - b - c + 1 = 0$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}a + b - c - 1 = 0\\a - b - c + 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = c\end{array} \right.$.

Khi đó $I\left( {c;1;c} \right)$.

Ta có $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - c} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 1 - c} \right)}^2}} = \sqrt {2{c^2} + 3} \ge \sqrt 3$.

Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) là $\sqrt 3 \approx 1{,}73$ khi $I\left( {0;1;0} \right)$.

Trả lời: 1,73.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm của vùng phủ sóng chính là đường kính của mặt cầu.

Mặt cầu (S) có tâm I(4; 2; 3) và R = 4.

Suy ra khoảng cách xa nhất giữa hai điểm phú sóng là 8 km.

Trả lời: 8.

Mặt cầu (S) có tâm I(−3; 9; −12). Suy ra a = −3; b = 9; c = −12.

Do đó a + 2b – 3c = −3 + 2.9 – 3.(−12) = 51.

Trả lời: 51.