Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu lớp 12 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu có dạng

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2}.$

Xét các đáp án, chỉ có đáp án A thỏa mãn, đồng thời ta có thể viết lại như sau:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16$

$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}$$

Do đó, tâm mặt cầu là $I\left( {1;0; - 3} \right).$

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu có dạng

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2}.$

Để xác định một mặt cầu khi và chỉ khi ${R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 3 = 0$

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Do đó, tâm của mặt cầu là $I\left( {2;1; - 1} \right)$.

Thay $M\left( {4;2; - 2} \right)$ vào phương trình mặt cầu, ta được

${\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 + 1} \right)^2} = 6 < 9$.

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.

</>

Đáp án đúng là: B

Ta thay tọa độ các điểm ở từng đáp án vào phương trình mặt cầu $\left( S \right)$.

Với $A\left( {3; - 2; - 4} \right)$, có: ${3^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} - 2.3 + 10.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 4} \right) + 1 = - 8 \ne 0$.

Do đó mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left( {3; - 2; - 4} \right).$

Với $B\left( {4; - 1;0} \right)$, có: ${4^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} - 2.4 + 10.\left( { - 1} \right) + 3.0 + 1 = 0$.

Do đó, mặt cầu (S) đi qua điểm có tọa độ $\left( {4; - 1;0} \right).$

Với $C\left( {2;1;9} \right)$, có: ${2^2} + {1^2} + {9^2} - 2.2 + 10.1 + 3.9 + 1 = 120 \ne 0.$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left( {2;1;9} \right).$

Với điểm $D\left( { - 1;3; - 1} \right)$, có: ${\left( { - 1} \right)^2} + {3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) + 10.3 + 3.\left( { - 1} \right) + 1 = 41 \ne 0$.

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left( { - 1;3; - 1} \right).$

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$ bán kính $R = 3$ là

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {3^2}$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0$

$$\Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36$$

$$\Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {6^2}.$$

Vậy ta được Tâm $I\left( { - 4;3; - 1} \right)$ và bán kính $R = 6.$

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án như sau:

• Với ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0$ ta có: $a = - 1,b = - 1,c = 1,d = 4$.

Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 1 < 0.$

Vậy đáp án A không là phương trình mặt cầu.

• Với ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0$ ta có: $a = - 2,b = 1,c = - 1,d = 6$.

Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0$

Vậy đáp án B không là phương trình mặt cầu.

• Với ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0$ có: $a = - 1,b = 3,c = - 2,d = 14$.

Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0$

Vậy đáp án C không là phương trình mặt cầu.

• Với ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0$ có: $a = - 4,b = 3,c = - 1,d = - 10$.

Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 36 > 0.$

Vậy đáp án D là phương trình của một mặt cầu.

>

Đáp án đúng là: D

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên trục $Oz$ thì $H\left( {0;0;2} \right)$.

Từ đó, $R = IH = \sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 5.$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với trục $Oz$ là

$${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25.$$

Đáp án đúng là: A

Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của $AB$ do đó $I\left( {2;1; - 1} \right)$.

Ta có: $R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt 6 .$

Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6$ hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0$

$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.$$

Vậy tâm của mặt cầu là $I\left( {1; - 1;1} \right)$ và bán kính $R = 3.$

Để $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ thì $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3$.

Suy ra $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1 - {m^2} + 4m - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - {m^2} + 4m - 4} \right|}}{3} = 3$.

Hay $\left| { - {m^2} + 4m - 4} \right| = 9$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m - 4 = 9\\ - {m^2} + 4m - 4 = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m - 13 = 0\\ - {m^2} + 4m + 5 = 0\end{array} \right.$

Giải phương trình, ta có nghiệm $m = - 1$ hoặc $m = 5.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${x^2} + {y^2} + z{}^2 - 4x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + z{}^2 = 3$.

Vậy mặt cầu có tâm $I\left( {2;0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0$ với $a = - 2m,b = - m,c = m$ và $d = 9{m^2} - 28$.

Để phương trình là một mặt cầu thì ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

$$\Leftrightarrow 4{m^2} + {m^2} + {m^2} - 9{m^2} + 28 > 0$$

$$\Leftrightarrow - 3{m^2} + 28 > 0$$

$$\Leftrightarrow {m^2} < \frac{{28}}{3}$$

$$\Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{28}}{3}} < m < \sqrt {\frac{{28}}{3}}$$

$\Leftrightarrow - 3{,}055 < m < 3{,}055$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}.$

Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

Gọi $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$.

Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G\left( { - 6; - 12;18} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 0 + 0}}{3} = - 6\\\frac{{0 + b + 0}}{3} = - 12\\\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 18\\b = - 36\\c = 54\end{array} \right.$.

Suy ra $A\left( { - 18;0;0} \right),B\left( {0; - 36;0} \right),C\left( {0;0;54} \right)$.

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IA = IB\\IB = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{O^2} = I{A^2}\\I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right.$.

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + 18} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{\left( {x + 18} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 36} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {\left( {y + 36} \right)^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 54} \right)^2}\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36x + 324 = 0\\36x + 324 - 72y - 1296 = 0\\72y + 1296 + 108z - 2916 = 0\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 9\\y = - 18\\z = 27\end{array} \right.$.

Vậy tâm của mặt cầu là $I\left( { - 9; - 18;27} \right).$

Đáp án đúng là: C

Ta có

$H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, suy ra $OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Thật vậy:

$\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot AB$ (1)

Mà $CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AB \bot \left( {OHC} \right)$$\Rightarrow AB \bot OH$.

Tương tự, ta suy ra $BC \bot \left( {OAH} \right)$$\Rightarrow BC \bot OH.$

Từ đây suy ra $OH \bot \left( {ABC} \right).$

Khi đó, mặt cầu tâm $O$ tiếp xúc mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có bán kính $R = OH = 3.$

Vậy mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.$

Đáp án đúng là: B

Giả sử $M\left( {x;y;z} \right).$

Ta có: $M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}$;

$M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}$;

$M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$.

Có $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$.

$$\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 0$$

$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$.

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$ là mặt cầu có bán kính $R = \sqrt 2 .$

Đáp án đúng là: B

Gọi hình chiếu vuông góc của

$I$ trên $MN$ là $K$.

Dễ thấy $AN = NK = \frac{1}{3}AM$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = 5.$

Có $AM.AN = A{I^2} - {R^2} = 4$$\Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow AN = NK = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$$\Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} - K{N^2}} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}.$

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $\left( S \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left( H \right)$ chính là mặt cầu tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}.$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( S \right):$${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 6z + m - 3 = 0$

$$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 17 - m.$$

$\left( S \right)$ là phương trình của mặt cầu thì $17 - m > 0 \Leftrightarrow m < 17.$

Khi đó mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {17 - m}$.

Để mặt phẳng $\left( \beta \right):$$2x - y + 2z - 8 = 0$ cắt $\left( S \right)$ theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$ thì đường tròn đó có bán kính $r = 4$.

Ta có: $d\left( {I,\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 + 2.3 - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2$.

Ta có: ${R^2} = {d^2}\left( {I,\left( \beta \right)} \right) + {r^2}$ $\Leftrightarrow 17 - m = 2 + 16$$\Leftrightarrow m = - 1{\rm{ }}\left( {TM} \right).$

</>