Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có đáp án - phần 3)

Chọn B

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {BCD} \right)\,.$

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {BD} = \left( {0\,; - 1\,;\, - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ có vec tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {BC} \,} \right] = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\,.$

Gọi ${\overrightarrow u _d}$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vì $d \bot \left( {BCD} \right)$ nên $\overrightarrow {{u_d}} = {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)$.

Đáp A và C có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)$ nên loại B và D.

Ta thấy điểm $A\left( {0\,;\,0\,;2\,} \right)$thuộc đáp án C nên loại A.

Chọn C

$\left( P \right):x + z - 5 = 0$ có 1 vtpt $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;1} \right)$

$\left( Q \right):x - 2y - z + 3 = 0$ có 1 vtpt $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 1} \right)$

Gọi $\Delta$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì $\Delta$ có 1 vtcp $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;2; - 2} \right)$.

Chọn B

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\underset{u}{\rightarrow }=(1;2;-1)$.

Mặt phẳng (T) có một vectơ pháp tuyến là $\underset{{n}_{T}}{\rightarrow }=(1;1;2)$. Do $\frac{1}{1}\ne \frac{-2}{1}\ne \frac{1}{2}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ không cùng phương với $\underset{{n}_{T}}{\rightarrow }$. Do đó d không vuông góc với (T).

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\underset{{n}_{P}}{\rightarrow }=(1;-2;1)$. Do $\frac{1}{1}=\frac{-2}{-2}=\frac{1}{1}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ cùng phương với $\underset{{n}_{P}}{\rightarrow }$. Do đó d vuông góc với (P).

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\underset{{n}_{Q}}{\rightarrow }=(1;-2;-1)$. Do $\frac{1}{1}=\frac{-2}{-2}\ne \frac{1}{-1}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ không cùng phương với $\underset{{n}_{Q}}{\rightarrow }$. Do đó d không vuông góc với (Q).

Mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\underset{{n}_{R}}{\rightarrow }=(1;1;1)$. Do $\frac{1}{1}\ne \frac{-2}{1}\ne \frac{1}{1}$ nên $\underset{u}{\rightarrow }$ không cùng phương với $\underset{{n}_{R}}{\rightarrow }$. Do đó không vuông góc với (R).

Chọn D

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d): $\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ nên nhận véc tơ chỉ phương $\underset{{u}_{d}}{\rightarrow }=(1;1;1)$ làm véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = 0, mặt khác (P) đi qua gốc tọa độ nên D = 0.

Vậy phương trình (P) là: x + y + z = 0.

Chọn A

Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(0; 0; 3) và vuông góc với đường thẳng d nên nhận véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\underset{u}{\rightarrow }=(2;-1;1)$ làm véc tơ pháp tuyến. Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x - y + z - 3 = 0

Chọn A

Đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)$

Để mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ thì $\overrightarrow u$ phải cùng phương với $\overrightarrow n$ $\Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2$.

Chọn A

$\Delta$ có VTCP $\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 3} \right)$ và $\left( P \right)$ có VTPT là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)$.

$\left( \alpha \right)$ qua $O$ và nhận $\overrightarrow {n'} = - \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = \left( {1;2;1} \right)$

Suy ra $\left( \alpha \right):x + 2y + z = 0$.

Chọn D

Đường thẳng ${d_2}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {1; - 2;3} \right)$ và đi qua điểm $N\left( { - 3;1; - 4} \right)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0$; $\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;4; - 6} \right)$; $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN} = - 16 + 20 - 12 = - 8 \ne 0$

$\Rightarrow$ ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left( P \right)$ nhận $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$ của đoạn $MN$

Suy ra phương trình của $\left( P \right)$: $4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0$

$\Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2$ $\Rightarrow a + 2b + 3c = 20$.

Chọn C

Đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$ đi qua điểm $M\left( {1; - 2;4} \right)$, có một VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}$ có một VTCP là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau ${d_1},{d_2}$$\Rightarrow$$\left( P \right)$ qua điểm $M\left( {1; - 2;4} \right),$ có một VTPT là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là :

$\left( P \right):6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0$.

Chọn A

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 4} \right)$.

Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {0;1; - 1} \right)$.

Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_P}}$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}}$ và $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_d}}$ nên chọn $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;\,1;\,1} \right)$.

$\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {0;1;0} \right),$ VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;1} \right)$ có phương trình là: $3x + y + z - 1 = 0$.

Chọn A

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua $A\left( {2;6; - 2} \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2;1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right)$.

Gọi $\overrightarrow n$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$. Do mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${d_1}$ và $\left( P \right)$song song với đường thẳng ${d_2}$ nên $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;5;8} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {2;6; - 2} \right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;5;8} \right)$ là $x + 5y + 8z - 16 = 0$.

Chọn C

Phương trình đường thẳng qua hai điểm $A$, $O$ có dạng $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\z = 0\end{array} \right.$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm $A$, $O$ nên $\left( P \right)$: $m\left( {x - y} \right) + nz = 0$, ${m^2} + {n^2} > 0$. Khi đó véctơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ có dạng $\overrightarrow n = \left( {m; - m;n} \right)$.

Ta có $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2n} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {m^2} + {n^2}} }} = \sqrt 3$ $\Leftrightarrow 2{m^2} - 4mn - {n^2} = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{n} = 1\\\frac{m}{n} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là $\overrightarrow n = \left( {\frac{1}{5}n;\frac{{ - 1}}{5}n;n} \right) = \frac{n}{5}\left( {1; - 1;5} \right)$.

Chọn C

VTCP của $d$ là $\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)$ và $B\left( {1; - 2;1} \right) \in d$.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;1} \right)$.

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)$.

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là $5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $5x - 2y - 4z - 5 = 0$.

Chọn A

Ta có: Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm $A\left( {2;0;0} \right)$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)$ và đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm $A\left( {0;1;2} \right)$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song ${d_1};{d_2}$ nên $\left( P \right)$ có VTPT là $n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)$

Do đó: Mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $y - z + m = 0$

Mặt khác: $\left( P \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1};{d_2}$ nên

$d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

Vậy $\left( P \right)$:$y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0$.