Trắc nghiệm Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

C

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: ${\log _3}\left( {5x} \right) = 2 \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}$.

D

TXĐ: $D = \left( {1; + \infty } \right)$

${\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 10$.

B

Điều kiện: $x > 2.$

Phương trình đã cho tương đương với: $2{\log _2}(2x - 1) = 2{\log _2}(x - 2)$

$\Leftrightarrow 2x - 1 = x - 2 \Leftrightarrow x = - 1$

Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm.

D

Điều kiện $x \ne 0$.

Có ${\log _4}{x^2} - {\log _2}3 = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}{x^2} = 1 + {\log _2}3 \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} = 2.{\log _2}6 \Leftrightarrow {x^2} = {6^2}$

Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng $0$.

A

Ta có ${5^{2x - 4}} = 25 \Leftrightarrow {5^{2x - 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 3.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ 3 \right\}.$

D

Ta có: ${2^{2x - 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4.$

C

${4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272$$\Leftrightarrow {4.4^x} + \frac{{{4^x}}}{4} = 272$$\Leftrightarrow {4^x} = 64$$\Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 3 \right\}$.

C

$\log x \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge 10\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 10.$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left[ {10; + \infty } \right).$

A

Điều kiện: $3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$.

Bất phương trình$\Leftrightarrow 3x - 1 > {2^3} \Leftrightarrow 3x > 9 \Leftrightarrow x > 3$.

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 3.

D

Ta có ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 2x - 1\\2x - 1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2$.

A

Ta có: ${2^x} < 5$$\Leftrightarrow x < {\log _2}5$

Vậy tập nghiệm $S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5} \right)$.

A

${5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ { - 2;4} \right]$.

a) Phương trình $f\left( x \right) = \frac{1}{3}$$\Leftrightarrow {9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}$.

Thay x = 0 vào phương trình ta được ${9^{2.0}}{.27^{{0^2}}} = \frac{1}{3}$ (vô lí).

Vậy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

b) Ta có $f\left( x \right) = {9^{2x}}{.27^{{x^2}}}$$= {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}}$$= {3^{3{x^2} + 4x}}$.

c) Đồ thị hàm số f(x) luôn nằm phía trên trục hoành.

d) Có $f\left( x \right) = \frac{1}{3}$$\Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = \frac{1}{3}$$\Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x}} = {3^{ - 1}}$$\Leftrightarrow 3{x^2} + 4x = - 1$$\Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$ hoặc x = −1.

Khi đó ${\left( {{x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2}} \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{9}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) ${2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}$ $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ + 2x = 3 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ + 2x − 3 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = −3.

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}$.

b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1$^{2}$ + (−3)$^{2}$ = 10.

c) ${3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}$ $\Leftrightarrow$ 3x$^{2}$ – x = x + 5 $\Leftrightarrow$ 3x$^{2}$ – 2x – 5 = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1 hoặc $x = \frac{5}{3}$.

Do đó tích các nghiệm là $- \frac{5}{3}$.

d) Tập nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}$ là {1; −3}.

Tập nghiệm của phương trình ${3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}$ là $\left\{ { - 1;\frac{5}{3}} \right\}$.

Do đó hai phương trình đã cho không cùng tập nghiệm.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.

b) Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ nên đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải.

c) Có f(x) = 4 $\Leftrightarrow$ 2$^{x}$ = 4 $\Leftrightarrow$ x = 2.

d) log$_{2}$(f(x)) – x$^{2}$ + 2 > 0 $\Leftrightarrow$ log$_{2}$(2$^{x}$) – x$^{2}$ + 2 > 0 $\Leftrightarrow$ x – x$^{2}$ + 2 > 0 $\Leftrightarrow$ −1 < x < 2.

Do vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn là 0 và 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Điều kiện: 2x + 4 > 0 $\Leftrightarrow$ x > −2. Suy ra tập xác định D = (−2; +∞).

b) Ta có f(2) = 2log$_{2}$(2.2 + 4) – 1 = 5. Do đó đồ thị hàm số qua điểm M(2; 5).

c) Ta có f(x) = 1 $\Leftrightarrow$ 2log$_{2}$(2x + 4) – 1 = 1 $\Leftrightarrow$ log$_{2}$(2x + 4) = 1 $\Leftrightarrow$ 2x + 4 = 2 $\Leftrightarrow$ x = −1.

d) Ta có f(x) ≤ 3 $\Leftrightarrow$ 2log$_{2}$(2x + 4) – 1 ≤ 3 $\Leftrightarrow$ log$_{2}$(2x + 4) ≤ 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4 > 0\\2x + 4 \le {2^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \le 0\end{array} \right.$.

Tập nghiệm nguyên của bất phương trình là S = {−1; 0}.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}$ $\Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}$ $\Rightarrow \alpha = - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0{,}31 \notin \left( {1;2} \right)$.

b) Ta có $P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500$$\Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500$$\Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow - \alpha t < \log \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow t > - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow t > - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow t > 3$.

c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là ${4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000$.

Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là ${4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2{,}5}} \approx 707$.

Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.

d) Ta có $P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}$$\Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}$$\Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1{,}32$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Ta có ${2^{{x^2}}} = \frac{1}{{{4^{x - 4}}}}$$\Leftrightarrow {2^{{x^2}}} = {2^{8 - 2x}}$ $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ = 8 – 2x $\Leftrightarrow$ x = −4 hoặc x = 2.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là −2.

Trả lời: −2.

log$_{3}$(2x – 1) ≤ log$_{3}$5 $\Leftrightarrow$ 0 < 2x – 1 ≤ 5 $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2} < x \le 3$.

Vậy bất phương trình trên có 3 nghiệm nguyên.

Trả lời: 3.

Ta có V(t) = A.(0,905)$^{t}$≤ 300 $\Leftrightarrow$ 780.(0,905)$^{t}$≤ 300 $\Leftrightarrow$ $t \ge {\log _{0{,}905}}\frac{{300}}{{780}} \approx 9{,}57$.

Vậy sau ít nhất 10 năm sử dụng.

Trả lời: 10.

Theo đề ta có $850 < A{\left( {1 + 8\% } \right)^3} \Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{\left( {1 + 8\% } \right)}^3}}} \approx 674{,}8$.

Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi để sau 3 năm khách hàng đó nhận được lớn hơn 850 triệu đồng là 675 triệu đồng.

Trả lời: 675.

Ta có $5000 = 1000{e^{10r}}$$\Leftrightarrow {e^{10r}} = 5$ $\Leftrightarrow r = \frac{{\ln 5}}{{10}}$.

Gọi t (giờ) là thời gian cần tìm để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.

Do đó $10000 = 1000{e^{rt}}$$\Leftrightarrow {e^{rt}} = 10$$\Leftrightarrow rt = \ln 10$$\Leftrightarrow t = \frac{{\ln 10}}{r} = \frac{{\ln 10}}{{\frac{{\ln 5}}{{10}}}} = 10{\log _5}10 \approx 14{,}3$.

Vậy sau khoảng 14,3 giờ thì số lượng vi khuẩn sẽ tăng gấp 10 lần.

Trả lời: 14,3.