Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia phân thức đại số lớp 8 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{A \cdot C}}{{B \cdot D}}.$

Đáp án đúng là: A

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{x}{{x - 1}}$ là $\frac{{x - 1}}{x}.$

Đáp án đúng là: B

Tích của một phân thức và phân thức nghịch của nó bằng 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{{A \cdot D}}{{B \cdot C}}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{x}{{2y}} \cdot \frac{y}{{3{x^2}}} = \frac{{xy}}{{2y \cdot 3{x^2}}} = \frac{1}{{6x}}.$ Vậy tích của hai phân thức $\frac{x}{{2y}}$ và $\frac{y}{{3{x^2}}}$ bằng $\frac{1}{{6x}}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{x}{{2y}}:\frac{x}{{4{y^2}}} = \frac{x}{{2y}} \cdot \frac{{4{y^2}}}{x} = \frac{{4x{y^2}}}{{2xy}} = 2y.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $P = \frac{{x{y^3}}}{2}:\left( {x{y^2}} \right) = \frac{{x{y^3}}}{2} \cdot \frac{1}{{x{y^2}}} = \frac{{x{y^3}}}{{2x{y^2}}} = \frac{y}{2}.$ Vậy $P = \frac{y}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P = x \cdot \frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{x}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.$

Với $x = 1\;000$ (thỏa mãn) thì $P = \frac{1}{{1\;000 - 1}} = \frac{1}{{999}}.$ Vậy giá trị của $P$ tại $x = 1\;000$ là $P = \frac{1}{{999}}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $M = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}:\frac{{2x + 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x - 3}} \cdot \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 1}}{2}.$

Vây $M = \frac{{x + 1}}{2}.$

Đáp án đúng là: C

$P = \frac{{y + 2}}{{x - 2}}:\frac{x}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{y + 2}} = \left( {\frac{{y + 2}}{{x - 2}} \cdot \frac{{x - 2}}{{y + 2}}} \right) \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{{x + 1}}{x}.$ Vậy $P = \frac{{x + 1}}{x}.$

a) Sai.

Ta có: $B = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{1}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^3} - 1}}.$ Vậy $B = \frac{{x + 2}}{{{x^3} - 1}}$ với $x \ne 2;\;\,x \ne - 2;\;\,x \ne 1.$

b) Đúng.

Ta có: $A \cdot B = \left( {{x^3} - 1} \right) \cdot \frac{1}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}} = \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.$

Vậy $A \cdot B = \frac{1}{{x - 2}}$ với $x \ne 2;\;\,x \ne - 2;\;\,x \ne 1.$

c) Sai.

Với $x = 4$ (thỏa mãn) ta có: $A \cdot B = \frac{1}{{4 - 2}} = \frac{1}{2}.$ Vậy với $x = 4$ thì $A \cdot B = \frac{1}{2}.$

d) Sai.

Với $A \cdot B = 1$ thì $\frac{1}{{x - 2}} = 1$ nên $x - 2 = 1$ suy ra $x = 3$ (thỏa mãn). Vậy có một giá trị của $x$ để $A \cdot B = 1.$

a) Đúng.

Vì $B$ là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{x^2}y}}$ nên $B = \frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} = \frac{{{x^2}y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}.$

Vậy $B = \frac{{{x^2}y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}$ với $x \ne - y \ne 0.$

b) Đúng.

Ta có: $A = \frac{{{x^2}y}}{{x + y}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{{{x^2}y}}{{x\left( {x + y} \right)}} = \frac{{xy}}{{x + y}}.$ Vậy $A = \frac{{xy}}{{x + y}}$ với $x \ne - y \ne 0.$

c) Sai.

Ta có: $A:B = \frac{{xy}}{{x + y}}:\frac{{{x^2}y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{xy{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right){x^2}y}} = \frac{{x + y}}{x}.$ Vậy $A:B = \frac{{x + y}}{x}.$

d) Sai.

Vì $x - 2y = 0$ nên $x = 2y.$

Với $x = 2y$ (thỏa mãn) ta có: $A:B = \frac{{2y + y}}{{2y}} = \frac{{3y}}{{2y}} = \frac{3}{2}.$/$x - 2y = 0$ thì $A:B = \frac{3}{2}.$

a) Đúng.

Ta có: $A = \frac{x}{{{x^2} - 1}}:\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.$ Vậy $A = \frac{1}{{x - 1}}$ với $x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.$

b) Đúng.

$B = \frac{{x + 1}}{x} \cdot \frac{1}{{2x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{2x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2x}}.$ Vậy $B = \frac{1}{{2x}}$ với $x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.$

c) Sai.

Ta có: $A:B = \frac{1}{{x - 1}}:\frac{1}{{2x}} = \frac{{2x}}{{x - 1}}.$ Vậy $A:B = \frac{{2x}}{{x - 1}}$ với $x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.$

d) Đúng.

Với $x > 1$ thì $2x > 0;\;\,x - 1 > 0$ nên $\frac{{2x}}{{x - 1}} > 0.$ Vậy với $x > 1$ thì $\frac{A}{B}$ có giá trị là số dương.

a) Đúng.

Năng suất sắn của nhà bác An năm ngoái là $\frac{b}{a}$ (tấn/ ha).

b) Sai.

Năm nay, diện tích trồng sắn nhà bác An là: $a - 2\;\,\left( {{\rm{ha}}} \right)$ và sản lượng sắn thu được là $b + 5$ (tấn).

Năng suất sắn của nhà bác An năm nay là $\frac{{b + 5}}{{a - 2}}$ (tấn/ ha).

c) Sai.

Ta có: $\frac{{b + 5}}{{a - 2}}:\frac{b}{a} = \frac{{a\left( {b + 5} \right)}}{{b\left( {a - 2} \right)}}.$

Vậy năng suất sắn của nhà bác An năm nay gấp $\frac{{a\left( {b + 5} \right)}}{{b\left( {a - 2} \right)}}$ lần năm ngoái.

d) Đúng.

Với $a = 10;\;\,b = 45$ ta có: $\frac{{a\left( {b + 5} \right)}}{{b\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{10\left( {45 + 5} \right)}}{{45\left( {10 - 2} \right)}} = \frac{{25}}{{18}}.$

Với $a = 10;\;\,b = 45$ thì năng suất sắn nhà bác An năm nay gấp $\frac{{25}}{{18}}$ năm ngoái.

a) Đúng.

Thời gian máy bay thứ nhất đã bay là $\frac{{900}}{x}$ giờ.

b) Sai.

Tốc độ của máy bay thứ hai là: $x + 200\;\,\left( {{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}} \right).$

Thời gian máy bay thứ hai đã bay là $\frac{{900}}{{x + 200}}$ giờ.

c) Sai.

Ta có: $\frac{{900}}{x}:\frac{{900}}{{x + 200}} = \frac{{900\left( {x + 200} \right)}}{{900x}} = \frac{{x + 200}}{x}.$

Vậy tỉ số thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là $\frac{{x + 200}}{x}.$

d) Sai.

Với $x = 150$ ta có: $\frac{{x + 200}}{x} = \frac{{150 + 200}}{{150}} = \frac{7}{3}.$

Vậy với tốc độ bay của máy bay thứ nhất là $150\;\,{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}$ thì tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là $\frac{7}{3}.$

Đáp án: 0,5

Với $x \ne - 1;\;\,z \ne 0;\;\,x \ne y$ ta có: $M = \frac{{x - y}}{z} \cdot \left( {\frac{{x + 1}}{{2x + 2}} \cdot \frac{z}{{x - y}}} \right) = \left( {\frac{{x - y}}{z} \cdot \frac{z}{{x - y}}} \right) \cdot \frac{{x + 1}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$

Đáp án: $2$

Với $x \ne - y;\;x \ne y$ ta có:

$\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{x + y}}:\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2x + 2y}} \cdot \frac{1}{{x - y}}$

$= \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{x + y}} \cdot \frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \cdot \frac{1}{{x - y}}$

$= \frac{{2\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)}}$

$= 2.$

Vậy kết quả của phép tính đã cho là 2.

Đáp án: $- 220$

Với $x \ne y;\;\,x \ne - y$ ta có:

$P = \left( {\frac{{x + y}}{{xy}} - \frac{2}{y}} \right) \cdot \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x + y - 2x}}{{xy}} \cdot \frac{{{x^2}{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{ - \left( {x - y} \right){x^2}{y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{ - xy}}{{x + y}}.$

Với $x = - 22;\;\,y = 20$ (thỏa mãn) ta có: $P = \frac{{ - \left( { - 22} \right) \cdot 20}}{{\left( { - 22} \right) + 20}} = - 220.$

Vậy với $x = - 22;\;\,y = 20$ thì $P = - 220.$

Đáp án: $225$

Với $x \ne 1;\;\,x \ne 0$ ta có: $M\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}:\frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{x}{{x - 1}} \cdot \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{1} = \frac{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = {x^2}.$

Với $x = 15$ (thỏa mãn) ta có: $M = {15^2} = 225.$

Vậy với $x = 15$ thì $M = 225.$

Đáp án: $0{,}75$

Điều kiện xác định: $x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

Ta có: $E = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{{x^3} - 1}}{{2 + x}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {x^2} + x + 1.$

Lại có: ${x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.$

Vì ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$ với mọi $x \ne - 2$ và $x \ne 1$ nên $E \ge \frac{3}{4} = 0{,}75$ với mọi $x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

Dấu “=” xảy ra khi $x + \frac{1}{2} = 0$ suy ra $x = \frac{{ - 1}}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $E$ bằng $0{,}75$ với mọi $x \ne - 2$ và $x \ne 1.$